Académie Orléans-Tours Olympiades Académiques de Mathématiques Classe de Premiè

Académie Orléans-Tours Olympiades Académiques de Mathématiques Classe de Première Mercredi 24 Mars 2004 Durée : 4 heures. L’épreuve comporte quatre exercices indépendants. L’usage des calculatrices est autorisé. Exercice 1 On définit pour chaque couple de réels (a, b) la fonction f par : f(x) = a − √ x + b. Deux nombres réels u et v distincts sont dits échangeables s’il existe au moins un couple de réels (a, b) tel que la fonction f vérifie à la fois f(u) = v et f(v) = u. 1. Montrer que 2 et 3 sont échangeables. 2. Peut-on en dire autant de 4 et 7 ? 3. À quelle condition deux entiers u et v sont-ils échangeables ? Corrigé de l’exercice 1 1. On cherche a et b tels que :  a − √ 2 + b = 3 a − √ 3 + b = 2 ⇔  a −3 = √ 2 + b a −2 = √ 3 + b ⇒  (a −3)2 = 2 + b (a −2)2 = 3 + b ⇒  (a −3)2 = 2 + b (a −2)2 −(a −3)2 = 1 ⇒(a, b) = (3, −2). Et on vérifie que f : x 7→3 −√x −2 échange bien 2 et 3. 2. On résout de même :  a − √ 4 + b = 7 a − √ 7 + b = 4 ⇔  a −7 = √ 4 + b a −4 = √ 7 + b ⇒  (a −7)2 = 4 + b (a −4)2 = 7 + b ⇒  (a −7)2 = 4 + b (a −4)2 −(a −7)2 = 3 ⇒(a, b) = (6, −3) Mais ce couple ne convient pas puisqu’alors √ 4 + b = 1 est différent de (a −7) = −1. 3. Soient m et n deux entiers distincts. Ils sont échangeables lorsque le système : (S) :  a −n = √ b + m a −m = √ b + n admet une solution. Or (S) ⇒  (a −n)2 = b + m (a −m)2 = b + n ⇒  b = (a −n)2 (2a −n −m)(m −n) = m −n = ⇒ car m̸=n 2a −n −m = 1 ⇒a = m + n + 1 2 On obtient alors une unique solution pour (S) si et seulement si      a −n = m −n + 1 2 ⩾ 0 a −m = −m + n + 1 2 ⩾ 0 soit lorsque m −1 ⩽n ⩽m + 1. Ainsi, les entiers m et n sont échangeables si et seulement si ils sont consécutifs. De plus, c’est la fonction f : x 7→n + 1 −√x −n qui échange n et n + 1. Exercice 2 Soit ABCD une feuille de papier rectangulaire de largeur AB = 4 et de longueur BC = 6. Soit R un point de [AB] (bord inférieur de la feuille) et T un point de [AD] (bord droit de la feuille). On replie la feuille suivant le segment [RT] et on appelle S la nouvelle position du point A (coin inférieur droit de la feuille). Voir figure ci-contre. Dans tout l’exercice, on s’intéresse au cas où S est sur le segment [BC] (bord gauche de la feuille). On pose AR = x et AT = y. B
A  C  D  R  S  T y x 1. Trouver les valeurs minimale et maximale de x. 2. Trouver une relation entre x et y lorsque S se déplace sur [BC]. 3. Trouver la valeur de x pour laquelle l’aire de la partie repliée (triangle SRT) est minimale. Quelle est alors la nature du triangle AST ? Exercice 3 1. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1) 2 . 2. Montrer qu’avec un choix judicieux de + ou de −à la place des ±, on peut obtenir : ±1 ± 2 ± 3 ± · · · · · · · · · ± 99 ± 100 = 2004 3. Déterminer tous les entiers n pour lesquels on peut obtenir, selon le même principe : ±1 ± 2 ± 3 ± · · · · · · · · · ± 99 ± 100 = n Corrigé de l’exercice 3 1. On pose S = 1 + 2 + .... + n. On a alors 2S = ( 1 + 2 + · · · + (n −1) + n ) + ( n + (n −1) + · · · + 2 + 1 ) = n + 1 + n + 1 + · · · + n + 1 + n + 1 en ajoutant terme à terme dans les parenthèses. Ainsi, 2S = n(n + 1) d’où le résultat. 2. Quelques remarques préliminaires : – si l’on affecte un + à chaque entier entre 1 et 100 on obtient une somme égale à +5050 – si l’on modifie un signe + en un signe −sur un entier k , celà revient à retrancher 2k à la somme ( et inversement si l’on modifie un signe −en un signe +, à ajouter 2k) – si l’on affecte un + à chaque entier inférieur ou ègal à p et un −aux autres on obtient une somme : s = 2 × p(p+1) 2 −5050 = p2 + p −5050 puisqu’il faut alors rajouter 2fois chaque entier affecté au préalable d’un − Tout d’abord, encadrons 2004 par deux termes consécutifs de la suite p2 + p −5050. On a : 832 + 83 −5050 = 1922 < 2004 < 842 + 84 −5050 = 2090 Donc si l’on affecte un + aux 84 premiers et un −aux autres on se trouve à 2090 et il faudra retrancher 86=2×43 pour obtenir le résultat : il suffira donc de transformer le −devant le 43 en un + d’où la somme 2004 = +1 + 2... + .. + 42 −(43) + 44... + 83 + 84 −85 −86... −100 3. Il est clair que la plus grande somme possible est égale à 5050 (que des +) et la plus petite égale à −5050 (que des −) Notons que le fait de changer un + en un moins consiste à retrancher à la somme un nombre pair , donc toute somme possible sera forcément paire. Réciproquement, soit S un entier pair compris entre −5050 et 5050. Puisque la fonctions p →p(p + 1) −5050 est croissante sur [0, 100], il existe un seul entier p compris entre 1 et 100 tel que (p −1)2 + (p −1) −5050 < S ≤p2 + p −5050 Affectons un + aux entiers inférieurs ou égaux à p et un −aux autres : nous obtenons donc une somme égale à : p2 + p −5050 La différence D = (p2 + p −5050) −S est paire ( en effet 2 p(p+1) 2 −5050 est pair ) et D < (p2 + p −5050) −(p −1)2 + (p −1) −5050) = 2p + 2 donc D/2 ≤p. on en déduit que l’on peut obtenir S en affectant un + à tous les entiers k compris entre un et p sauf D/2 et un −aux autres. Conclusion : Les entiers obtenus sont tous les entiers pairs compris entre −5050 et 5050. Exercice 4 1. Prouver que pour tous réels a et b, cos(a + b) + cos(a −b) = 2 cos(a) cos(b) 2. Étant donné un triangle ABC, on note C1 le cercle de centre A et passant par C et C2 le cercle de centre B et passant par C. Soit M un point de C1 distinct de C. La droite (MC) recoupe C2 en E. Construire M pour que le produit des distances CM · CE soit maximum. A
B  M  C  E Corrigé de l’exercice 4 1. Pour tous les réels a et b on a les formules : cos (a + b) = cos (a) cos (b) −sin (a) sin (b) et cos (a −b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b) . On a ainsi cos (a + b) + cos (a −b) = 2 cos (a) cos (b) . 2. Les angles sont orientés tels que c = \ (− → CA, − − → CB) soit compris entre 0 et π. Soit a = \ (− − → CM, − → CA) avec a ∈  −π 2, π 2  et b = \ (− − → CB, − − → CE) avec b ∈  −π 2, π 2  Alors CM = 2AC cos(a) et CE = 2CB cos(b) donc : CM.CE = 2AC.CB.(cos(a + b) + cos(a −b)) Or, d’après la relation de Chasles : a + b + c = \ (− − → CM, − − → CE). Plus précisément, uploads/Finance/ olympiades-2004-corrige.pdf

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• Détails
• Publié le Jan 06, 2022
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
• Taille du fichier 0.0777MB