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Économétrie 1 Chapitre 2 Modèle de Régression Linéaire Simple Pr Moad El kharri

Économétrie 1 Chapitre 2 Modèle de Régression Linéaire Simple Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques 2 Le modèle de régression simple • La régression simple est le modèle le plus simple: une variable endogène est expliquée par une variable exogène • Soit la fonction de production keynésienne: C=a0+a1Y • C=consommation • Y=revenu • a1=propension marginale à consommer • a0=consommation autonome ou incompressible Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • La variable consommation est appelée variable à expliquer ou variable endogène • La variable revenu est appelée variable explicative ou exogène • a0 et a1 sont les paramètres du modèle ou encore les coefficients de régression 3 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Nous pouvons distinguer deux types des spécifications • Les modèles en série temporelle, les variables représentent des phénomènes observés à intervalles de temps réguliers • Par exemple la consommation et le revenu annuel de 1985 et 2005 pour un pays donné: Ct=a0+a1Yt t=1985,…,2005 4 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Les modèles en coupe instantanée, le variables représentent des phénomènes observé au même instant mais concernant divers individus, par exemple la consommation et le revenu observe sur un échantillon de 20 pays Ci=a0+a1Yi i=1,…,20 • Ci=consommation pour le pays i en 2005 • Yi=revenu pour le pays i en 2005 5 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Le modèle qu’il vient d’être spécifié n’est qu’un caricature de la réalité. • En effet, ne retenir que le revenu pour l’explication de la consommation est à l’évidence même insuffisant • Il existe un multitude d’autre facteurs susceptible d’expliquer la consommation 6 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • C’est pourquoi nous ajoutons un terme (t) qui synthétise l’ensemble de ces informations non explicitées dans le modèle • Ct=a0+a1Yt + t série temporelle • Ci=a0+a1Yi + i coupe instantanée • Où représente l’erreur de spécification du modèle, c’est-à-dire l’ensemble des phénomènes explicatifs de la consommation non liés au revenu 7 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • En pratique, le terme mesure le différence entre les valeurs réellement observées de Ct et les valeurs qui auraient été observées si la relation spécifiée avait été rigoureusement exacte • Le terme regroupe donc trois types d ’erreurs: – Erreur de spécification, c.à.d. le fait que la variable explicative n’est pas suffisante – Erreur de mesure: le données ne représentent pas exactement le phénomène – Erreur de fluctuation d’échantillonnage 8 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Dans la réalité nous ne connaissons pas les valeurs vrais des coefficients • On peut seulement observer le valeurs de C et de R • Les estimateurs de coefficients sont notés respectivement: • ces sont des variables aléatoires, qui suivent les mêmes lois de probabilité, celle de , puisque ils sont fonction de  9 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple 10 0 .2 .4 .6 .8 Density 0 1 2 3 4 x Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Estimation des parametres • yt=a0+a1xt+t pour t=1,…,n • Avec: – yt = variable à expliquer au temps t – xt = variable explicative au temps t – a0 a1 = paramètres du modèle – t = erreur de spécification – n = nombre d’observations 11 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Hypothèses: • H1: Le modèle est linéaire en x • H2: Le valeurs de x sont observés sans erreur • H3: E()=0, l’espérance mathématique de l’erreur est nulle • H4: E(²)=², la variance de l’erreur est constante (homoscédasticité) • H5: E(tt+1), les erreurs sont non corrélées (ou indépendants) • H6: Cov(x t t), l’erreur est indépendante de la variable explicative 12 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple 13 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 Consommation Revenu Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Les estimateurs des coefficients a0 et a1 est obtenu en minimisant la distance au carré entre chaque observation et la droit • D’où le nom d’estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) • La résolution analytique est la suivante: 14 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • En opérant par dérivation par rapport à a0 et a1 afin de trouver le minimum de cette fonction, on obtient les résultats suivants: 15 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • La spécification du modèle n’est pas neutre: – y=f(x) n’est pas équivalente à x=f(y) – Le coefficient a1 représente la pente de la droite ou encore la propension marginale. On verra que lorsque les variables sont transformés en logs le coefficient représentera l’élasticité. • Il y a des cases spéciaux où le terme constante est nul: pour exemple le cas d’un fonction de production où le facteur fixe n’intervienne pas. 16 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Le modèle de régression linéaire simple peut s’écrire sous deux formes selon qu’il s’agit du modèle théorique spécifié par l’économiste ou du modèle estimé à partir d’un échantillon 17 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Le résidu observé et est donc la différence entre les valeurs observées de la variable à expliquer et les valeurs ajustées à l’aide des estimations de coefficients du modèle: 18 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Les estimateurs obtenus en utilisant le méthode de moindres carrés ordinaires ont deux proprieté importantes • Ils sont sans biais: • Il sont convergents: • Ces types d’estimateurs sont dit ‘BLUE’ : best linear unbiased estimators. 19 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • L’hypothèse de normalité des erreurs n’est pas nécessaire pour obtenir des estimateurs convergentes • Il est en revanche importante pour construire des test statistiques concernent la validité du modèle estimé 20 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple 21 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • On peut calculer les estimateurs de la variance de l’erreur et des estimateurs: 22 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • En conséquence de l’hypothèse de normalité des erreurs, on peut observer que: • En utilisant ces formules, on peut mettre en place des test statistiques pour: • Comparer un coefficient de régression par rapport à une valeur fixée • Comparer deux coefficients provenant de deux échantillons différents • Déterminer un intervalle de confiance pour un coefficient 23 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • L’analyse de la variance est importante pour évaluer dans quelle mesure le modèle estimé est capable de expliquer la réalité. • La formule pour l’analyse de la variance est la suivante: • La variabilité totale est égale à la variabilité expliquée plus la variabilité des residus 24 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple • Cette équation va nous permettre de juger de la qualité de l’ajustement d’un modèle • Plus la variance expliquée est proche de la variance totale, meilleur est l’ajustement de la nuage de points par la droite de moindres carrés • R² = Coefficient de détermination; R = corrélation multiple 25 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques Le modèle de régression simple 26 Source de la variation Somme Des carrés Degré de liberté Carré moyens x SCE= 1 SCE/1 Résidu SCR= n-2 SCR/(n-2) Total SCT= n-1 Pr Moad El kharrim Méthodes Econométriques uploads/Finance/ slide-chap-2-s6-econometrie.pdf