Université AbdelMalek ESSAÂDI Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et S
Université AbdelMalek ESSAÂDI Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales de Tétouan Licence Fondamentale Économie et Gestion (Semestre 6) Méthodes Économétriques 2020-2021 Pr. Moad El kharrim « Devoir 3 » Exercice 1 On considère un modèle de régression linéaire simple sans constante Yi = β1Xi + εi i = 1, ..., n avec εi ∼N 0, σ2 ε . (1) Trouver l’estimateur MCO de β1 et trouver sa variance. (2) Quelles propriétés numériques des estimateurs des MCO décrites dans le cas d’un modèle avec constante sont encore valables pour ce modèle ? Exercice 2 En utilisant le fait que Yi −¯ Y = b Yi −¯ Y + ei (1) Montrer que n P i=1 b Yi −¯ Y Yi −¯ Y = n P i=1 b Yi −¯ Y 2, (2) Déduire par conséquent que r2 Y,b Y = n P i=1 Yi −¯ Y b Yi −¯ Y 2 n P i=1 Yi −¯ Y 2 n P i=1 b Yi −¯ Y 2 = r2 X,Y 1 Solutions Exercice 1 (1) La minisation de la somme des carrés des résidus par rapport à b β1 : n X i=1 e2 i = n X i=1 Yi −b β1Xi 2 ∂ n P i=1 e2 i ∂b β1 = −2 n X i=1 Yi −b β1Xi Xi = 0 en simplifiant l’équation, on trouve b β1 = n P i=1 XiYi n P i=1 X2 i on remplaçant Yi = β1Xi + εi dans la formule de b β1 on trouve : b β1 = β1 + n P i=1 Xiεi n P i=1 X2 i avec E b β1 = β1 puisque Xi est non stochastique et E (εi) = 0. ainsi var b β1 = var b β1 −β1 2 = E n P i=1 Xiεi n P i=1 X2 i 2 = σ2 n P i=1 X2 i n P i=1 X2 i 2 = σ2 n P i=1 X2 i (2) A partir de la condition du premier ordre dans la question (1), on obtient n P i=1 eiXi = 0,où ei = Yi−b β1Xi. Par conséquent, n P i=1 ei n’est pas nécessairement nul. Toutefois n P i=1 Yi n’est pas nécessairement égale à n P i=1 b Yi. De plus, n P i=1 ei b Yi = b β1 n P i=1 eiXi = 0, car b Yi = b β1Xi et n P i=1 eiXi = 0. Par conséquent, seules deux des propriétés numériques considérées sont valables pour cette régression sans constante. Exercice 2 (1) En multipliant les deux termes de Yi −¯ Y = b Yi −¯ Y + ei par b Yi −¯ Y en sommant on obtient : n X i=1 Yi −¯ Y b Yi −¯ Y = n X i=1 b Yi −¯ Y 2 car n P i=1 b Yi −¯ Y ei = 0 d’après les propriétés de la régression linéaire simple. (2) r2 Y,b Y = n P i=1 Yi −¯ Y b Yi −¯ Y 2 n P i=1 Yi −¯ Y 2 n P i=1 b Yi −¯ Y 2 = n P i=1 b Yi −¯ Y 22 n P i=1 Yi −¯ Y 2 n P i=1 b Yi −¯ Y 2 = n P i=1 b Yi −¯ Y 2 n P i=1 Yi −¯ Y 2 = SCE SCT = R2 = r2 X,Y 2 uploads/Finance/ td-devoir-3.pdf
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Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Fev 18, 2021
- Catégorie Business / Finance
- Langue French
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