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Cours Structure Machine LMD informatique/mathématique 1ère année S.Bouam© 20010

Cours Structure Machine LMD informatique/mathématique 1ère année S.Bouam© 20010/2011 1 Partie I : Représentation de l’information 1. Introduction 1.1. Représentation de l’information traitée par ordinateur Les informations traitées par un ordinateur peuvent être de différents types (texte, nombres, images, son, vidéos, etc.) mais elles sont toujours représentées et manipulées par l'ordinateur sous forme numérique (digitale). En fait, toute information sera traitée comme une suite de 0 et de 1. L'unité d'information est donc les chiffres binaires (0 et 1) que l'on appelle bit (pour binary digit : chiffre binaire). On utilise la représentation binaire car elle est simple, facile à réaliser techniquement à l'aide de bistables (système à deux états réalisés à l'aide de transistors). Le codage d'une information consiste à établir une correspondance entre la représentation externe (habituelle) de l'information (texte, image, …etc), et sa représentation interne dans la machine, qui est toujours une suite de bits. 1.2. Quantité de l’information traitée L’unité de base de mesure de la quantité d’information en informatique est donc le bit tel qu’1 bit peut prendre la valeur 0 ou 1. Q : Combien d’états peut-on représenter avec 3 bits ? avec 4 bits ? et avec n bits en général ? Chaque 8 bits constituent 1 Octet (Byte en anglais) symbolisé par Ø (et symbolisé par B en anglais). Aussi : 210 bits = 1024 bits = 1 Kb (1 Kilo bits) 210 Ø = 1024 Ø = 1 KØ (1 Kilo Ø) 210 Kb = 1024 Kb = 1 Mb (1 Méga bits) 210 KØ = 1024 KØ = 1 MØ (1 Méga Ø) 210 Mb = 1024 Mb = 1 Gb (1 Giga bits) 210 MØ = 1024 MØ = 1 GØ (1 Giga Ø) 210 Gb = 1024 Gb = 1 Tb (1 Téra bits) 210 GØ = 1024 GØ = 1 TØ (1 Téra Ø) Q : Convertir 2GØ en bits puis en Kb? Il est donc clair que l’information est traitée sous forme binaire dans un ordinateur, que ça soit du texte (association de codes conventionnés à chaque caractère), des images (association de codes à chaque couleur de pixel de l’image), du son (association de codes à chaque fréquence de son), …etc. Il est donc indispensable de voir de plus près la manipulation des données binaires ainsi que leur relation avec d’autres systèmes de numération. 2. Systèmes de numération Au fil du temps plusieurs systèmes de numération sont apparus. De la mésopotamienne qui était positionnelle (la position du chiffre indique son rang, comme dans la numération arabe qu’on utilise aujourd’hui) à l’égyptienne et la romaine qui était additionnelle (le nombre représenté est égal à la somme des symboles représentés), à celle des chinois qui excellaient dans les calculs (création du boulier) et qui est également positionnelle, …etc. Ex : numération égyptienne Cours Structure Machine LMD informatique/mathématique 1ère année S.Bouam© 20010/2011 2 = 345 2.1. Représentation Un nombre : (XXX)b indique la représentation d’un nombre XXX dans la base b. Les bases usuelles qu’on connait et utilise tous les jours sont la base 10 (système décimale) pour représenter les différentes grandeurs et les différents chiffres et nombre (monnaies, n° de tel, tailles, date, …) et la base 60 (système sexagésimal) pour représenter le temps. Comment un nombre est représenté dans une base b ? 1. Si b ≤10, on utilise simplement les chiffres de 0 à b-1 Ex : base 8 (système octal) : n’importe quel nombre sera la combinaison de chiffres appartenant à l’ensemble {0,…, 7} 2. Si b >10, on utilise simplement les chiffres de 0 à 9 ensuite des lettres dans l’ordre alphabétique. Ex : base 16 (système hexadécimal) : n’importe quel nombre sera la combinaison de symboles appartenant à l’ensemble {0,…, 9,A, B, C, D, E, F} tel que : (A=10, ….., F=15) Donc chaque système de numération utilise un ensemble de symboles (chiffres) pour représenter les différents nombres. Le nombre de ces chiffres est toujours égal à l’ordre de la base elle-même. Autrement dit : la base du système de numération est égale au cardinal de l’ensemble des symboles utilisés dans cette base. Ex : en binaire, base du système binaire = 2 ; ensemble des symboles utilisés : A = {0,1}, Card (A)=2=base du système binaire. en octal, base du système octal = 8 ; ensemble des symboles utilisés : A ={0,1,2,3,4,5,6,7}, Card (A)=8=base du système octal. Un nombre de n chiffres (symboles) est une suite (ai), 0 ≤ i ≤ n-1 : an-1 …..a1a0 tel que : a0 est le terme de poids faible et an-1 est le terme de poids fort. Ex : Soit le mot binaire de 8 bits : 10011101 1 0 0 1 1 1 0 1 7 6 5 4 3 2 1 0 Les systèmes de numération qui nous intéresse dans le domaine informatique sont : le décimal, le binaire, l’octal et l’hexadécimal. 2.2. le système décimal Le système décimal est celui dans lequel nous avons le plus l'habitude d'écrire. Chaque chiffre peut avoir 10 valeurs différentes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, de ce fait, le système décimal a pour base 10. La valeur de chaque chiffre dépend de sa position, c'est-à-dire que c’est une numération positionnelle : la position la plus à droite exprime les unités, la position suivante : les dizaines, ensuite les centaines,…etc. Par exemple, si on décompose le nombre 9745, nous aurons : bit de poids fort bit de poids faible Cours Structure Machine LMD informatique/mathématique 1ère année S.Bouam© 20010/2011 3 9745 = 9 × 1000 + 7 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1 9745 = 9 × 103 × 7 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100 Nous remarquons que chaque chiffre du nombre est à multiplier par une puissance de 10. Cette puissance représente le poids du chiffre. L'exposant de cette puissance est nul pour le chiffre situé le plus à droite et s'accroît d'une unité pour chaque passage à un chiffre vers la gauche. Remarque : Cette façon d'écrire les nombres est appelée système de numération de position. Elle est valable pour tous les systèmes de numération que nous verrons dans ce cours (décimal, binaire, octal et hexadécimal). 2.3. le système octal Suivant ce que nous avons cité dans la section 2.1, le système octal utilise un système de numération ayant comme base 8 (octal : latin octo=huit) et utilise donc 8 symboles : de 0..jusqu’à..7. Ainsi, un nombre exprimé en base 8 pourra se présenter de la manière suivante par exemple : (745)8 Rappel : Lorsque l'on écrit un nombre, il faudra bien préciser la base dans laquelle on l'exprime pour lever toutes ambiguïtés (745 existe aussi en base 10 par exemple). Ainsi le nombre sera mis entre parenthèses (745 dans notre exemple) et indicé d'un nombre représentant sa base (8 est mis en indice). Par convention, quand on ne précise pas la base, elle est par défaut égale à 10. 2.4. le système binaire Comme nous l’avons vu plus haut, dans le système binaire, chaque chiffre ne peut avoir que l’une des 2 valeurs : 0 ou 1. De ce fait, le système a pour base 2. Ex : Représentions des nombres de 0 à 16 en décimal et leurs équivalents en binaire et octal Système décimal Système octal Système binaire 0 0 0 1 1 1 2 2 10 3 3 11 4 4 100 5 5 101 6 6 110 7 7 111 8 10 1000 9 11 1001 10 12 1010 11 13 1011 12 14 1100 13 15 1101 14 16 1110 15 17 1111 16 20 10000 2.5. le système hexadécimal 9 7 4 5 3 2 1 0 poids fort poids faible Cours Structure Machine LMD informatique/mathématique 1ère année S.Bouam© 20010/2011 4 Le système hexadécimal utilise les 16 symboles suivant : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F. De ce fait, le système a pour base 16. Ex : si nous reprenons le tableau précédent mais en valeurs décimales et leurs équivalents binaires et hexadécimales, nous aurons : Système décimal Système hexadécimal Système binaire 0 0 0 1 1 1 2 2 10 3 3 11 4 4 100 5 5 101 6 6 110 7 7 111 8 8 1000 9 9 1001 10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111 16 10 10000 3. Conversion et changement de base 3.1. Conversion d'un nombre de base b quelconque en nombre décimal Tout nombre entier naturel peut se coder comme la somme pondérée des puissances de sa base b, quel que soit cette base : Soit anan-1……a2a1a0 exprimé en base b noté (anan-1……a2a1a0)b. La valeur de ce nombre en décimal est égale à : an × bn + an-1 × bn-1 + ……+ a2 × b2 + a1 × b1+ a0 × b0 Ex : Convertissons les nombres suivants en décimal : (1011)2 , (16257)8 et (F53)16 uploads/Finance/ structure-machine-representation-de-l-x27-information.pdf