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1 Suites récurrentes 1. Systèmes dynamiques topologiques. 2. Systèmes dynamique

1 Suites récurrentes 1. Systèmes dynamiques topologiques. 2. Systèmes dynamiques linéaires. 3. Systèmes autonomes un+1 = f(un). 4. Systèmes non autonomes un+1 = f(n, un), etc. Pierre-Jean Hormière ____________ « Il jeta un coup d’œil sur les suites récurrentes que j’étais en train de calculer et s’assit sur mon lit. » Raymond Queneau, Odile (Pléiade, p.559) Introduction Les « suites récurrentes » des vieux cours de taupe se nomment aujourd’hui « systèmes dynamiques discrets ». « Un mot à la place d’un autre, ça n’a l’air de rien », disait Althusser… et pourtant ce changement de dénomination permet d’interpréter la variable entière d’indexation n comme un temps observé à des instants successifs, et souligne la parenté de ces systèmes avec les équations différentielles, ou « systèmes dynamiques différentiables ». Mais n peut aussi désigner une variable d’espace. Il y a plusieurs types de suites récurrentes : 1) Les suites récurrentes simples un+1 = f(un) sont des systèmes dynamiques autonomes : la loi de détermination de un+1 à partir de un est déterministe et invariante dans le temps. 2) Les suites récurrentes simples un+1 = f(n, un) sont des systèmes dynamiques non autonomes : la loi de passage de un à un+1 est déterministe mais évolue dans le temps. Les dynamiques autonomes un+1 = f(un) peuvent apparaître comme des cas limites de dynamiques non autonomes, lorsque la loi d’évolution s’est stabilisée dans le temps. 3) Les récurrences doubles un+2 = f(un+1, un) sont des systèmes dynamiques autonomes à mémoire plus longue. Mais elles se ramènent aussitôt à des récurrences simples sur les couples, car : (un+2, un+1) = F(un+1, un) , avec F(x, y) = (f(x, y), y). 4) Les suites récurrentes doubles un+2 = f(n, un+1, un) non autonomes. 5) Enfin, il y a des suites récurrentes un+1 = f(n, un, un−1, …, u0) à mémoire longue, etc. Les suites récurrentes sont l’analogue discret des systèmes différentiels : par exemple, la récurrence un+1 = f(un) s’écrit un+1 − un = f(un) − un , ou encore ∆un = g(un), où g(x) = f(x) − x. Elle est à rapprocher de l’équation différentielle y’(t) = f(t) − t. Cette analogie aide parfois à deviner le comportement asymptotique de la suite (un). Mais cette analogie peut être poussée plus loin : de même que les équations différentielles combinent méthodes exactes (équations s’intégrant élémentairement) et qualitatives (linéarisation à l’équilibre, fonctions de Liapounov, techniques de perturbation, etc.), de même les suites récurrentes combinent méthodes exactes (suites se calculant élémentairement) et qualitatives (linéarisation à l’équilibre, fonctions de Liapounov discrètes, techniques de perturbation, etc.). De sorte qu’il y aurait intérêt à exposer les deux chapitres parallèlement. Enfin, lorsque la loi de passage de un à un+1 n’est plus déterministe, mais aléatoire, on obtient les suites un+1 = f(un) + ε, où ε est une variable aléatoire, gaussienne ou autre. C’est le point de départ des processus stochastiques : chaînes de Markov, etc. Mais cela sort du champ de cette étude. 2 1. Systèmes dynamiques topologiques. 1.1. Problèmes et concepts. Soit (E, d) un espace métrique. Nous dirons qu’une suite (xn) de points de E s’échappe à l’infini s’il existe un point a tel que d(xn, a) → +∞. Cette propriété, indépendante du point a choisi, sera notée par abus xn → ∞ ∞ ∞ ∞ . Elle suppose la distance d non bornée. Soit f : E → E une fonction continue. On appelle système dynamique topologique l’action sur E de f et de ses itérées. On notera S = (E, f) un tel système. Etant donnée une condition initiale u0 ∈ E, formons la suite un+1 = f(un) des itérés de u0 par f : on a donc un = f n(u0). Plusieurs questions se posent : • La suite (un) est-elle bornée ? Sinon, tend-elle vers l’infini ? Si oui, converge-t-elle dans E ? On sait qu’alors sa limite est un point fixe de f. • Si (un) ne converge pas, est-elle périodique ? A-t-elle un « cycle limite » ? un nombre fini, une infinité dénombrable ou non dénombrable de valeurs d’adhérence ? • Peut-on inventorier les comportements de la suite (un) en fonction de la condition initiale u0? On obtiendrait alors une cartographie de l’espace métrique E. Définitions : 1) On appelle ensemble de Julia plein de f l’ensemble K = { x ∈ E ; fn(x) est bornée}, et ensemble de Julia de f la frontière de K dans E : J = Fr K. 2) Pour chaque point fixe a de f, le bassin d’attraction de a est l’ensemble B B B B(a) = { x ∈ E ; fn(x) → a }, et le bassin d’attraction de l’infini est l’ensemble : B B B B(∞ ∞ ∞ ∞) = { x ∈ E ; f n(x) → ∞ ∞ ∞ ∞ }. Cette notion s’étend aux cycles-limites : appelons 2-cycle de f tout couple (a, b) de points distincts tels que b = f(a) et a = f(b), et bassin d’attraction d’un tel cycle les x ∈ E tels que f2k(x) → a et f2k+1(x) → b, ou l’inverse ; idem pour les cycles de longueur 3, etc. L’ensemble de Julia doit être considéré comme un ensemble-limite, où le comportement de la suite (fn(x)) est imprévisible, « chaotique » : au voisinage de tout point de J, il existe des x dont la suite des itérés est bornée, resp. non bornée. Exemple 1 : Dans C, considérons f(z) = z2. Il est clair que fn(z) = z2^n, de sorte que : K = { z ; |z| ≤ 1 }, et J = { z ; |z| = 1 }. Le comportement des itérés de z par f est limpide si |z| < 1 et si |z| > 1, bien plus compliqué si |z| = 1, car si z = exp(i.θ), un = exp(2n.iθ) : c’est la dynamique du doublement de l’angle, qui sera évoquée plus tard (§ 1.3.). Exemple 2 : Problème de Cayley (1879). Dans C, considérons la fonction : f(z) = 3 2z + 2 3 1 z = z − ² 3 1 3 z z −. Le système dynamique zn+1 = f(zn) n’est autre que la méthode de la tangente de Newton étendue au champ complexe en vue de résoudre l’équation z3 – 1 = 0. f a trois points fixes : 1, j et j2. Soient B B B B(1), B B B B(j) et B B B B(j2) les bassins d’attraction respectifs du système dynamique associé à f. On a B B B B(j) = j.B B B B(1) et B B B B(j2) = j2.B B B B(1) en vertu de f(j.z) = j.f(z). 3 Chacun des ensembles B B B B(1), B B B B(j) et B B B B(j2) est un voisinage de 1, j, et j2 resp. Une expérimentation graphique montre que ces ensembles ne forment pas une partition de C, mais qu’ils s’imbriquent les uns dans les autres, avec des frontières de formes fractales. B B B B(1) est rouge ; B B B B(j) vert, et B B B B(j2) violet. Exercice 1 : Propriétés générales des ensembles de Julia et des bassins d’attraction. Montrer que : 1) K est un F F F Fσ σ σ σ tel que f(K) = K ∩ f(E) et f−1(K) = K ; 2) B B B B(∞ ∞ ∞ ∞) est un F F F Fσ σ σ σδ δ δ δ tel que f(B B B B(∞ ∞ ∞ ∞)) = B B B B(∞ ∞ ∞ ∞) ∩ f(E) et f−1(B B B B(∞)) = B B B B(∞) ; 3) Pour tout point fixe a de f, B B B B(a) est un F F F Fσ σ σ σδ δ δ δ tel que f(B B B B(a)) = B B B B(a) ∩ f(E) et f−1(B B B B(a)) = B B B B(a). Exercice 2 : Soit a un entier naturel impair, b un entier > 0. On considère la suite (un) définie par u0 = b , un+1 = 2 n u si un est pair , un+1 = un + a sinon. 1) Démontrer qu’on peut trouver un entier n tel que un ≤ a. 2) Démontrer que (un) est périodique à partir d’un certain rang. (Concours général 1996, extrait) Exercice 3 : Arbre de Calkin-Wilf. Soit (un) la suite définie par u0 = 0 , un+1 = n n u u E − + ) ( 2 1 1 . Montrer que n → un est une bijection de N sur Q+ . Exercice 4 : Suite de Syracuse. Soit f : N → N définie par f(x) = 3x + 1 si x est impair , f(x) = 2 x si x est pair. On considère le système dynamique suivant : c ∈ N*, x0 = c, xn+1 = f(xn). 1) Programmer avec Maple les suites correspondant à 1 ≤ c ≤ 50. Que constate-t-on ? 2) Programmer uploads/Finance/ suites-recurrentes.pdf