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44 3.5. EXERCICES CORRIGÉS Solution Les natures des statistiques sont classées

44 3.5. EXERCICES CORRIGÉS Solution Les natures des statistiques sont classées dans ce tableau, Position Minimum, Moyenne, Médiane, Mode, Premier quartile Dispersion Écart-type Exercice 17 - Chez un fabriquant de tubes de plastiques, on a prélevé un échantillon de 100 tubes dont on a mesuré le diamètre en décimètre. 1.94 2.20 2.33 2.39 2.45 2.50 2.54 2.61 2.66 2.85 1.96 2.21 2.33 2.40 2.46 2.51 2.54 2.62 2.68 2.87 2.07 2.26 2.34 2.40 2.47 2.52 2.55 2.62 2.68 2.90 2.09 2.26 2.34 2.40 2.47 2.52 2.55 2.62 2.68 2.91 2.09 2.28 2.35 2.40 2.48 2.52 2.56 2.62 2.71 2.94 2.12 2.29 2.36 2.41 2.49 2.52 2.56 2.63 2.73 2.95 2.13 2.30 2.37 2.42 2.49 2.53 2.57 2.63 2.75 2.99 2.14 2.31 2.38 2.42 2.49 2.53 2.57 2.65 2.76 2.99 2.19 2.31 2.38 2.42 2.49 2.53 2.59 2.66 2.77 3.09 2.19 2.31 2.38 2.42 2.50 2.54 2.59 2.66 2.78 3.12 1. Identiﬁer la population, les individus, le caractère et son type. 2. En utilisant la méthode de Yule puis de Sturge, établir le tableau statistique (Faites débuter la première classe par la valeur 1.94). 3. Tracer l’histogramme de cette variable statistique. 4. Déterminer par le calcul la valeur du diamètre au-dessous de laquelle se trouvent 50% des tubes de plastique. Que reprèsente cette valeur. 5. Déterminer par le calcul le pourcentage de tubes ayant un diamètre inférieur à 2.58. Solution 1 - Identiﬁcation de cet épreuve statistique, – Population : les tubes. Université de Tlemcen page 44 A. CHEKROUN Corrigé T.D: N°2 3.5. EXERCICES CORRIGÉS 45 – Individus : le tube. – Caractère : le diamètre. – Type : quantitative continue. – Modalités : 1.94,..., 3.12. 2 - Par la méthode de Yule, nous avons k = 2.5 4 √ N = 2.5 4 √ 100 = 7.9 ≃8. Par la méthode de Sturge, nous avons k = 1 + 3.3 log10(N) = 1 + 3.3 log10(100) = 7.6 ≃8. Nous avons donc l’amplitude qui égale ai = xmax −xmin k ≃0.15. Nous obtenons le tableau statistique suivant, X ni fi Ni Fi [1.94, 2.09[ 3 0.03 3 0.03 [2.09, 2.24[ 9 0.09 12 0.012 [2.24, 2.39[ 18 0.18 30 0.3 [2.39, 2.54[ 29 0.29 59 0.59 [2.54, 2.69[ 25 0.25 84 0.84 [2.69, 2.84[ 6 0.06 90 0.90 [2.84, 2.99[ 6 0.06 96 0.96 [2.99, 3.14[ 4 0.04 100 1 P 100 1 \ \ 3 - Nous dessinons l’histogramme de cette variable, Université de Tlemcen page 45 A. CHEKROUN 46 3.5. EXERCICES CORRIGÉS 0 1.94 2.09 2.24 2.39 2.54 2.69 2.84 2.99 3.14 Les effeectifs (ni) Histogramme des effectifs Les classes (Ci) 5 10 15 20 25 30 4 - Cette valeur représente la médiane. Le calcule se fait par extrapolation tan(α) = 0.59 −0.3 2.54 −2.39 = 0.5 −0.3 Me −2.39. Nous trouvons Me = 2.5. 5 - Le calcule du pourcentage de tubes ayant un diamètre inférieur à 2.58 se fait de la même manière et nous avons tan(α) = 0.84 −0.59 2.69 −2.54 = x −0.59 2.58 −2.54. Nous trouvons que la valeur cherché est égale à 0.66 (66%). Exercice 18 - Une étude sur le budget consacré aux vacances d’été auprès de ménages a donné les résultats suivants Budget X Fréquence cumulée Fréquences [800, 1000[ 0.08 [1000, 1400[ 0.18 [1400, 1600[ 0.34 [1600, β[ 0.64 [β, 2400[ 0.73 [2400, α[ 1 Université de Tlemcen page 46 A. CHEKROUN 2 3.5. EXERCICES CORRIGÉS 47 Le travail demandé : – Certaines données sont manquantes. Calculer la borne manquante α sachant que l’étendue de la série est égale à 3200. – Calculer les fréquences dans le tableau. – Calculer la borne manquante β dans les deux cas suivants : 1. Le budget moyen est égal à 1995. 2. Le budget médian est égal à 1920. Solution - On sait que l’étendue est égale au maximum moins le minimum. Ainsi, 3200 = xmax −xmin = α −800, et donc α = 4000. - Nous complétons le tableau comme suit Budget X Fréquence cumulée Fréquences [800, 1000[ 0.08 0.08 [1000, 1400[ 0.18 0.1 [1400, 1600[ 0.34 0.16 [1600, β[ 0.64 0.3 [β, 2400[ 0.73 0.09 [2400, α[ 1 0.27 - Le calcul la borne manquante β dans le cas où le budget moyen est égal à 1995, c’est à dire, x = 1995 se fait comme suit x = 1995 = 0.08×900+0.1×1200+0.16×1500+0.3×1600 + β 2 +0.09×β + 2400 2 +0.27×3200. Ce qui implique que 1644 + 0.195 × β = 1995, et on trouve β = 1800. - Le calcule la borne manquante β dans le cas où le budget médian est égal à 1920, c’est à dire, Me = 1920 se fait comme suit : il faut raisonner par interpolation linéaire sur Université de Tlemcen page 47 A. CHEKROUN 48 3.6. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES l’intervalle [1600 −β[. On pose le rapport des distances suivant, 1920 −1600 β −1600 = 0.5 −0.34 0.64 −0.34, et on trouve β = 2200. 3.6 Exercices supplémentaires Exercice 19 - On considère la variable "temps vécu dans le logement" pour laquelle on a obtenu le tableau d’eﬀectifs suivants : xi [0, 1[ [1, 2[ [2, 3[ [3, 5[ [5, 11[ [11, 16[ [16, 21[ [21, 26[ ni 35 36 32 25 20 18 16 7 1. Quel est le type de cette variable ? 2. Déterminer la médiane ainsi que les 1er et 3ème quartiles. Interpréter ces diﬀérents indices de position. 3. A cause d’une erreur de saisie, la borne supérieure 26 a été remplacée par 66, cela a-t-il un impact sur la détermination de la médiane ? Exercice 20 - Dans une gare routière, on évalue le temps d’attente des voyageurs en minutes. Voici l’histogramme des fréquences absolues de cette variable. 0 50 100 150 200 250 300 10 20 30 40 50 60 70 Les effeectifs (ni) Histogramme des effectifs Les classes (Ci) Université de Tlemcen page 48 A. CHEKROUN Exercice 3 Le tableau suivant donne la taille de 40 ´ el` eves d’un lyc´ ee ` a un centim` etre pr` es. 138 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128 1. Le caract` ere ´ etudi´ e est-il repr´ esent´ e par une variable statistique discr` ete ou continue ? 2. Etablir la distribution des eﬀectifs. Pour cela, apr` es avoir d´ eﬁni l’´ etendue de la s´ erie statistique, on pr´ esentera les donn´ ees sous forme d’un tableau faisant apparaitre des classes d’´ etendue (amplitude) 9 cm, la borne inf´ erieure de la premi` ere classe ´ etant 118 cm. 3. Construire l’histogramme, le polygone des eﬀectifs (fr´ equences) et la courbe des ef- fectifs cumul´ es. 4. Comment en d´ eduire l’histogramme des fr´ equences partielles et la courbe des fr´ equences cumul´ ees ? Exercice 4 Le tableau suivant donne la distribution des fr´ equences de la dur´ ee de vie de 500 lampes. Dur´ ee de vie en heures 300 ` a 499 500 ` a 699 700 ` a 1099 1100 et plus Nombre de lampes 50 150 274 26 1. Tracer l’histogramme des fr´ equences partielles et la courbe des fr´ equences partielles. 2. Tracer la courbe des fr´ equences cumul´ ees. 3. D´ eterminer le nombre de lampes ayant une dur´ ee de vie inf´ erieure ` a 900 heures. 2 Exercice 3 : Question 1 : Caractère : Taille Quantitative continu Question 2 : Valeur minimale Valeur maximale Etendue = Donc on fait 7 classes : Question 3 : (On relie la gauche des classes) xmin = 119cm xmax = 176cm xmax −xmin = 57cm nb classe = étendu amplitude = 6,3cm ≈7 118; 127 [ [ 127; 136 [ [ 136; 145 [ [ 145; 154 [ [ 154; 163 [ [ 163; 172 [ [ 172; 181 [ [ 0 0,075 0,15 0,225 0,3 [118; 127[ [127; 136[ [136; 145[ [145; 154[ [154; 163[ [163; 172[ [172; 181[ 0 0,25 0,5 0,75 1 118 127 136 145 154 163 172 181 Histogrammes des Fréquences Partielles Courbe des Fréquences cumulées Exercice 4 : Les classes doivent être d’amplitudes égales On ramène donc la classe en 2 classes : et dont chacune de ces 2 classes à un eﬀectif de 137. 700; 1099 [ [ 700; 899 [ [ 900; 1099 [ [ xi 100-299 300-499 500-699 700-899 900-1099 1100-1299 Total ni 0 50 150 137 137 26 500 cumulé 0 0,088 0,175 0,263 0,35 100-299 500-699 900-1099 0 0,088 0,175 0,263 0,35 100-299 500-699 900-1099 0 0,275 0,55 0,825 1,1 100-299 500-699 900-1099 Fréquence Par. 0 0.1 0.3 0.27 0.27 Fréquence 0 0.1 0.4 0.67 0.95 1 Histogramme des Fréquences Partielles Courbe des Fréquences Partielles Courbe des Fréquences Cumulées 0.05 uploads/Finance/ td-corrige 9 .pdf