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1 Unité de Formation et de Recherche Sciences Appliquées et Technologie Mémoire

1 Unité de Formation et de Recherche Sciences Appliquées et Technologie Mémoire de Maitrise Mathématiques Appliquées Informatique et Finance Thème: Le modèle de Markowitz et détermination d'un portefeuille optimal. Présenté par : Fatou Dioffé Bâ & Abdoulaye Wade Sous la direction de : Pr Abdou Kâ Diongue Année universitaire 2011/2012 2 SOMMAIRE INTRODUCTION I/ Le Modèle de Markowitz 1 Les hypothèses du modèle de Markowitz 1.1. Les hypothèses relatives aux actifs financiers 1.2. Les hypothèses relatives aux comportements des investisseurs 2 Présentation du modèle de Markowitz 2.1. Rentabilité et risque a. La rentabilité b. Le risque 2.2. L’approche espérance - variance a. L’espérance mathématique : mesure de la rentabilité espérée b. La variance : outil statistique d’analyse du risque II/ Portefeuille Optimal : Optimisation d’un portefeuille 1 La diversification 1.1. Portefeuille composé de deux actions 1.2. Portefeuille composé de “n” actions 1.3. Limites de la diversification a. Limite théorique b. Limite pratique 2 La frontière efficiente 2.1. Le concept de choix de portefeuille optimal 2.2. La théorie du choix de portefeuille optimal 2.3. Limites du modèle de Markowitz III/ : Cas pratique CONCLUSION BIBLIOGRAPHIE ANNEXE 3 INTRODUCTION Le marché financier est un lieu de rencontre entre l'offre et la demande des actifs financiers où les investisseurs interviennent et ce par le biais de leurs portefeuilles. L'accès à ce marché les oblige à supporter un risque de sur ou sous évaluation de leurs actifs. Ainsi, selon la théorie de rationalité avancée par Markowitz, les agents ont pour but ultime de combiner un ensemble d'actifs ayant une rentabilité maximale avec un niveau de risque donné ou ce qui revient de même un risque minimal pour un niveau de rentabilité donné. Plusieurs théoriciens se sont penchés sur l'analyse et la modélisation de ces deux grands paramètres de mesure de performance de portefeuille. A cet effet, Markowitz est classé comme le premier modélisateur de la relation « Risque / Rentabilité ». Ainsi le modèle de Markowitz devient l’outil le plus préconisé par les opérateurs et ce grâce à son opérationnalité et sa technicité. Mais au cours des années, les praticiens ont reconnu les limites de ce modèle et ils ont développé d'autres pouvant modéliser le mieux possible la relation « Risque/Rentabilité ». Ainsi, les recherches universitaires développées à l’origine par Markowitz en 1950 seront poursuivies par Fama et Lintner et aboutiront au modèle de ß ou Modèle de Fixation de Prix d’un Actif Financier (Capital Asset Pricing Model ou CAPM) de William Sharpe en 1970. Donc, le présent rapport présentera une synthèse du modèle de base connu sous le nom de «Modèle de Markowitz », et essayera d'exposer les fondements et les apports de ce modèle en matière d'optimisation de portefeuille pour enfin terminer avec une approche critique. Le sujet sera traité en deux parties composées chacune de deux chapitres : la présentation du modèle de Markowitz et la détermination du portefeuille efficient, et en une troisième partie où nous appliquerons le modèle sur les données du CAC 40. Le premier chapitre énumérera les fondements théoriques du modèle de Markowitz, à savoir les hypothèses relatives aux actifs financiers et aux investisseurs, le second chapitre présentera les composantes du modèle, la rentabilité et le risque et leurs outils de mesure, le troisième chapitre, quant à lui, traitera du principe de la diversification, comme facteur limitatif du risque, et de ses limites, et enfin le quatrième chapitre sera consacré à la frontière efficiente. I/ Le modèle de Markowitz 1. Les hypothèses du modèle de Markowitz 1.1 Les hypothèses relatives aux actifs financiers Hypothèse 1 : Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque : le rendement d’un actif financier pour toute période future est par conséquent une variable aléatoire, dont on fait l’hypothèse qu’elle est distribuée selon une loi normale, c’est- à-dire une distribution symétrique stable entièrement définie par deux paramètres, à savoir l’espérance mathématique du rendement et l’écart-type de la distribution de probabilité du rendement. 4 E (Ri) E (Ri) = σ (Ri) E (Ri) = 2 σ (Ri) Avec : E (Ri) = espérance mathématique du rendement σ (Ri) = écart-type de la distribution de probabilité du rendement R = symbolise le (taux du) rendement i = représente un actif financier quelconque. Le rendement sur investissement(ou, plus brièvement, rendement est défini comme l’accroissement de la fortune initiale que cherche à maximiser l’investisseur. Le rendement correspond en temps discret à la relation rt = (Pt – Pt-1) + Ct où : rt = rendement de l’actif financier pour la période (se terminant au temps) t Pt = prix de marché au temps t de l’actif financier Ct = revenu liquide attaché à la détention de l’actif financier durant la période (se terminant au temps) t. Hypothèse 2 : Les rendements des différents actifs financiers ne fluctuent pas indépendamment les uns des autres : ils sont corrélés ou, ce qui revient au même, ont des covariances non nulles. 1.2 Les hypothèses relatives aux comportements des investisseurs Hypothèse 1 : Le comportement de tous les investisseurs est caractérisé par un degré plus ou moins prononcé d’aversion vis-à-vis du risque. Ce dernier est mesuré par l’écart-type de la distribution de probabilité du rendement. Hy p o t h è s e 2 : Les investisseurs sont rationnels : bien que leur fonction de préférence soit purement subjective, ils opèrent, en référence à celle-ci, des choix strictement transitifs. Hypothèse 3: Tous les investisseurs ont le même horizon de décision, qui comporte une seule période. Cette simplification, qui peut paraître exagérée, permet de mettre en œuvre un modèle de décision qui tient compte du caractère hautement combinatoire du portefeuille. 5 2. Présentation du modèle de Markowitz Le problème posé par Markowitz est la recherche d’un portefeuille qui minimise la variance du rendement du portefeuille pour un niveau d’espérance de rentabilité donné. Ce portefeuille est dit efficace, il a l’espérance de rentabilité la plus forte parmi les portefeuilles qui ont la même variance de rentabilité que lui. L’ensemble de tous les portefeuilles efficaces constitue la frontière efficace, encore appelée frontière efficiente de Markowitz (Prix Nobel d’économie en 1990), qui la dériva en 1952 et la généralisa en 1959. 2.1 Rentabilité et risque La théorie financière met l’accent dans le cadre de la gestion de portefeuille sur deux critères essentiels, à savoir, la rentabilité et le risque. a. La rentabilité Le concept de rentabilité a des acceptations différentes selon les investisseurs. Quand nous parlons de la rentabilité obtenue par un investisseur sur une action, nous nous référons non seulement au dividende net que lui rapporte ce titre, mais aussi, à la plus- value éventuelle qu’il y prélève lors de la revente des actions. Ainsi, le taux de rentabilité comprend à la fois, le rendement ou le taux de rendement (dividende net rapporté au cours de l’action), et la plus-value (ou moins value) en capital rapportée au cours d’achat de l’action. Le rendement est défini par la relation : Le revenu est supposé perçu au temps t, ou, s'il est perçu entre et t, il est supposé ne pas être réinvesti avant le temps t. Le prix de marché au temps est une valeur "ex-coupon" c'est-à-dire une valeur enregistrée immédiatement après (le détachement du coupon donnant à) la perception, au temps , du revenu liquide afférant à la période . Sur le plan empirique, l'hypothèse de non réinvestissement jusqu'à la période élémentaire de temps utilisée est courte (un mois maximum), afin d'éviter des distorsions statistiques trop importantes dans le traitement des données chronologiques. Pour faciliter les comparaisons entres investissements, nous utilisons une mesure exprimée en termes relatifs le "taux de rentabilité" ou "rate of return" défini assez logiquement par : Où est le taux de rentabilité pour la période t. b. Le risque L’investissement en valeurs mobilières constitue le sacrifice d’un avantage immédiat ou, une absence de consommation immédiate en échange d’avantages futurs. Dans la mesure où le présent est connu avec certitude, l’investissement en valeurs mobilières constitue l’échange d’un avantage certain et immédiat contre un avantage futur et incertain. Ainsi, le risque d’un actif financier pour un investisseur, peut être défini comme l’incertitude qui existe quant à la valeur de cet actif à une date future. L’objectif de tout investisseur étant de réaliser une certaine rentabilité sur les capitaux qu’il gère. Cependant, l’obtention de celle-ci n’est pas certaine à l’avance. La rentabilité réalisée (ex-post) est plus ou moins différente de celle espérée (ex-ante). Ainsi, on peut assimiler le risque d’un investissement à la dispersion ou variabilité de sa 6 rentabilité autour de la valeur anticipée. Cette variabilité est mesurée le plus souvent par l’écart type (ou identiquement son carré: la variance). 2.2 L’approche espérance - variance a. L’espérance mathématique : mesure de la rentabilité espérée Placé dans un univers incertain, l’investisseur ne peut pas calculer d’avance la rentabilité, car la valeur du titre en fin de période est aléatoire, ainsi que dans certain cas, la rémunération perçue durant la période. L’investisseur utilise alors, une rentabilité espérée qui est la moyenne des rentabilités possibles pondérées par leur possibilité de réalisation. uploads/Finance/ wdcbwwj0nxh-m2ejse25dxj0nq4.pdf