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TECHNIQUES FINANCIERES ACTUARIELLES CHAPITRE 1 : NOTIONS SUR LA REMUNERATION DE

TECHNIQUES FINANCIERES ACTUARIELLES CHAPITRE 1 : NOTIONS SUR LA REMUNERATION DES PRETS/EMPRUNTS 1) Définition prêt/emprunt : Le mot emprunt est utilisé pour désigner les crédits à long terme. Il se réfère le plus souvent au financement d'un achat immobilier. Une personne physique ou morale met une somme d'argent à la disposition d'un emprunteur. L'emprunteur lui reverse le capital majoré d'intérêts, en suivant une fréquence de paiement définie dans un contrat. Lorsque cette fréquence de remboursement est mensuelle, on parle de mensualités ; lorsqu'elle est annuelle, on parle d'annuités. Deux sortes d'emprunt sont couramment utilisées : amortissables ou in fine. Un emprunt peut englober la totalité du coût d'un projet, ou uniquement la valeur du bien acquis. Prêt Agents à capacité de financement agent à besoin de financement (Prêteur) emprunt (emprunteur) 2) Taux d’intérêt simple : Lorsque la durée d’un placement est courte (en général moins d’une année), on calcule un intérêt simple. Celui-ci est directement proportionnel au capital placé, à la durée du placement et au taux d’intérêt. L’intérêt simple ne tient donc pas compte de la capitalisation des intérêts, contrairement à l’intérêt composé qu’on utilise lors de placement à plus longue échéance (plus d’une année). On définit : C0 capital initial ou valeur actuelle, CN capital final ou valeur acquise après n périodes, t% t taux par période, exprimé en pourcent, n durée du placement, en nombre de périodes. Le montant de l’intérêt simple I rapporté par le placement d’un capital C0 durant n périodes à un taux périodique de t% est donné par : I = C0  t  n Sans autre précision, le taux d’intérêt est annuel. Pour le calcul de la durée de placement n, on utilise l’année commerciale qui compte 360 jours répartis en 12 mois de 30 jours. Exercices Exercice 1 Quel montant faut-il placer aujourd’hui au taux annuel simple de 3% pour obtenir un capital de 5000 TND dans 120 jours ? (Rép : 4950.50 francs) Exercice 2 On place 5000 TND pendant 90 jours et l’on obtient 5050 TND. Quel est le taux d’intérêt ? (Rép : 4%) Exercice 3 On place 5000 TND au taux annuel simple de 3.35% et l’on obtient 5110 TND. Quelle est la durée du placement en jours ? (Rép : 237 jours) Exercice 4 On place 5000 TND au taux annuel simple de 3% pendant 45 jours. Quel est le montant des intérêts obtenus ? (Rép : 18.75 TND) 3) Intérêts composés : Le principe de l’intérêt composé consiste à prendre en compte comme base du calcul, non seulement le capital initial comme dans le cas de l’intérêt simple, mais également les montants d’intérêt qui seront générés au fur et à mesure de la durée du placement. C’est ainsi que tout intérêt généré à une période déterminé sera capitalisé aux mêmes conditions que le capital initial pendant ce qui reste dans la duré du placement. Donc l’intérêt composé est bien de l’intérêt simple plus la capitalisation des intérêts générés au cours de la durée du placement. Prenons l’exemple d’un capital C0 de 2000 TND placé au taux mensuel de 1% pour 3 mois. Le capital et les intérêts généré à la fin de chaque mois seront : Fin du premier mois : C1=2000(1+1%)=2020 TND Fin du deuxième mois : C2=2020(1+1%)=2040,2 TND Fin du troisième mois : C3=2040,2(1+1%)=2060,602 TND Cet exemple nous permet simplement de bien comprendre l’origine et le principe du calcul de l’intérêt composé. Dans ce cas on a que trois périodes (3 mois) ce qui rend un tel calcul plus aisé, mais si nous avons un placement pour une durée plus longue (20 mois ou plus), on devrait avoir plus de patience pour calculer notre intérêt composé suivant cette méthode. Donc on a bien intérêt a avoir une seule formule qui nous permet de déterminer le montant de l’intérêt composé en un seul et unique calcul quelque soit la durée prise en compte. Dans le calcul de l’intérêt composé on ajoute à la fin de chaque période, le montant de l’intérêt au capital précédent pour calculer l’intérêt de la période suivante. En effet, considérons un capital initial C0 placé au taux i pendant n période, alors nous allons avoir les calculs suivants : A la fin de période 1 : C1=C0 + I1=C0 + C0.i = C0(1+i) A la fin de période 2 : C2 = C1 + C1.i = C1(1+i)=C0(1+i) (1+i)=C0(1+i)2 A la fin de la Nième période : Cn=C0(1+i)n Ansi pour l'exemple de calcul cité ci-dessus en trois étaps pourrait être obtenu en appliquant la formule : Cn=C0(1+i)n ==> C3=C0(1+i)3=2000(1+1%)3=2060,602 Exemple : Vous voulez placer un montant de 2000 TND et vous avez consulté trois banques. -La première banque B1 oﬀre un taux annuel de 9%, capitalisé annuellement. -La seconde banque B2 oﬀre un taux nominal de 9% capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire que l’intérêt est capitalisé quatre fois par année au taux de 9%/4 = 2.25%. -La troisième banque B3 oﬀre un taux nominal de 9%, capitalisé mensuellement, c’est-à-dire que l’intérêt est capitalisé douze fois par année au taux de 9%/12 = 0.75%. Quelle institution oﬀre les meilleures conditions ? Pour la banque B1, il y a une période de capitalisation à un taux de 9%, ce qui donne C(1) = 2000 x 1.091 = 2180 TND, soit un intérêt de 180 TND. Pour la banque B2, il y a quatre périodes de capitalisation à un taux de 2.25%, ce qui donne C(1) = 2000 x 1.02254 = 2186.17 TND, soit un intérêt de 186.17 TND. Pour la banque B3, il y a douze périodes de capitalisation à un taux de 0.75%, ce qui donne C(1) = 2000 x 1.007512 = 2187.61 TND, soit un intérêt de 187.61 TND. Ainsi la banque B3 oﬀre les meilleures conditions. 4) Equivalence de taux : Le calcul du taux d'intérêt équivalent permet de connaître le taux pour des périodes différentes : le mois, le trimestre, le semestre par exemple. La capitalisation cumulée sera équivalente à la capitalisation annuelle. Le capital est placé pendant plusieurs années à un taux prédéfini. Les intérêts peuvent être capitalisés de manière annuelle, trimestrielle, mensuelle. Les taux d'intérêt ne sont équivalents que si, à la fin du contrat, la valeur acquise est la même. Le taux équivalent est généralement inférieur au taux proportionnel pour la même période. Calculer le taux équivalent : formule générale Un capital K est placé pendant n années à i. À la fin du contrat, la valeur acquise se calculera de la manière suivante : Valeur acquise = K (1 + 1)n Le taux équivalent (ix) à l'intérêt annuel (i) pour une fraction de l'année est le taux pour lequel la somme des périodes permet d'obtenir une valeur acquise identique. Valeur acquise = K (1 + ix)xn = K (1 + i)n (1 + ix)xn = (1 + i)n (1 + ix)x = (1 + i) (1 + ix) = (1 + i)(1 / x) Équivalent ix= (1 + i)(1 / x) - 1 Pour un équivalent semestriel x = 2, s'il est trimestriel, x = 4 etc. Il augmente avec le nombre de périodes. La même formule permet ensuite de retrouver i par rapport au taux mensuel, trimestriel, semestriel (ix). i = (1 + ix)x - 1 5) Principe d’actualisation : « Actualiser » est le fait de calculer la valeur actuelle d’une somme quelconque à verser ou percevoir dans le futur. • On peut déduire de la valeur qui sera disponible dans le futur, la somme qu’il a été nécessaire d’engager pour la produire. • la valeur actuelle des 530 dinars disponibles dans un an, sachant que le taux d’intérêt est de 6 %, est égale à 500 dinars : T=0 t=1 C0 = ? c1 = 530 Ce calcul se déduit de la valeur future : il faut retirer de la valeur acquise tous les intérêts que la valeur actuelle aura produit. Puisque Cn sera la valeur acquise par placement de la valeur actuelle C0 : Cn = C0 × (1 + i)n D’où, la valeur actuelle d’un capital C0 placé au taux i par période pendant n périodes est: C0 = Cn /(1 + i)n = Cn × (1 + i)-n Avec, Cn : Valeur acquise; C0 : Capital de départ; i : Taux d’intérêt; et n : Nombre de périodes. Exercice 1 : Valeur actuelle Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de 7 ans au taux annuel de 6%, calculer sa valeur actuelle. C0 = 100 000 / 1,067 = 100 000  1,06 – 7  66 505,71. Exercice 2 : Soit 100 000 acquis au terme d’un placement de 10 années au taux annuel de t%, sa valeur actuelle étant de 64 392,77. Calculer t 100 000 = 64 392,77  (1 + t%)10 Soit (1 + t%)10 = 100 000 /64 392.77 et t% = (100 000 / 64 392.77) 1/10 -1  0,04499 donc le taux est de 4,5 % (t = 4,5) Exercice 3 : Soit une suite de 5 versements annuels à terme échu uploads/Finance/ techniques-financieres-actuarielles-cours.pdf