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Exam an juin12 www goodprepa tech Université Ibn Zohr Faculté des Sciences Département de Mathématiques Pr H Douzi Durée h ? Examen d ? Analyse Numérique SM -SMI Juin On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation claire et lisible de

www goodprepa tech Université Ibn Zohr Faculté des Sciences Département de Mathématiques Pr H Douzi Durée h ? Examen d ? Analyse Numérique SM -SMI Juin On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation claire et lisible des résultats Questions de cours Donner une dé ?nition de la notion d ? algorithme en Analyse numérique Quelles sont les deux grandes approches numériques pour résoudre un système linéaire donner des exemples de méthodes pour chaque cas Problème On considère les deux systèmes linéaires suivants Etude du premier système a Calculer la factorisation LU de la matrice A b Résoudre le système linéaire A x b en utilisant la factorisation LU de A Etude du deuxième système a Véri ?er que l ? algorithme de factorisation LU pour la matrice A ne peut pas être exécuté jusqu ? au bout b Trouver une matrice P de permutation de façon à ce que la matrice PA soit factorisable puis calculer la factorisation LU de PA c Résoudre le système linéaire A x b en utilisant la factorisation trouvée Calculer le déterminant des matrices A et A en utilisant leurs factorisations LU Problème On considère l'équation x ? x ?? ? Etude de la fonction f x ? x ? x ?? a Tracer approximativement le graphe de la fonction b Encadrer les deux racines ?? et ?? de la fonction par des intervalles de longueurs c Montrer que ?? ? ?? ? ?? Propriété des équations de second ordre On veut approcher une des racines par dichotomie a Appliquer la dichotomie jusqu ? à l ? encadrement d ? une des deux racines par un intervalle de longueur b En déduire un intervalle d ? encadrement de longueur pour l ? autre racine On veut résoudre la même équation par la méthode de Newton a Donner la fonction g de point ?xe associée à cette méthode b Montrer que les deux racines sont des point ?xes attractifs de g c Comment doit- t- on choisir le point initial x pour converger vers l ? une des racines C