Corrigé DM12 : extrait CCP MP 2008. PCSI 26 janvier 2009 1 Focométrie. 1.1 Lent

Corrigé DM12 : extrait CCP MP 2008. PCSI 26 janvier 2009 1 Focométrie. 1.1 Lentille convergente (L1). 1.1.1 Méthode d'autocollimation. 1. Pour mesurer la distance focale objet f1 = −f ′ 1 de la lentille (L1) avec la méthode d'au- tocollimation on appose derrière la lentille un miroir plan ; on éclaire un objet réel AB et on déplace l'ensemble lentille-miroir jusqu'à voir l'image A'B' nette de l'objet dans le même plan que l'objet. On constate alors que l'image est de même taille que l'objet et renversée, soit γ = −1. On peut alors montrer que l'objet AB est situé dans le plan focal objet de la lentille. On mesure ensuite la distance objet-lentille qui reprèsente f ′ 1. 2. f ′ 1 = 20, 2cm (1) et ∆f ′ 1 = 0, 5cm (2) 1.1.2 Formule de conjugaison de Descartes. 1. On applique la formule de conjugaison de Descartes, appelée aussi formule de conjugaison avec origine au sommet O1 : 1 O1A′ − 1 O1A = 1 f ′ 1 (3) Or, l'objet est réel donc O1A < 0. On a : O1A = −35cm < O1F1 On constate que l'objet est situé avant le foyer objet F1 de (L1). Par conséquent, l'image A' est nécessairement réelle, soit O1A′ > 0. On peut le justi er par une construction ou avec la formule de conjugaison : 1 O1A < −f ′ 1 (4) 1 O1A > −1 f ′ 1 (5) 1 O1A + 1 f ′ 1 > 0 (6) Or, 1 O1A + 1 f ′ 1 = 1 O1A′ (7) D'où : 1 O1A′ > 0 (8) Soit : O1A′ > 0 (9) On a donc : O1A′ = +46, 5cm. Ensuite, il reste à appliquer la formule de conjugaison de Descartes : 1 f ′ 1 = 1 46, 5 − 1 −35 (10) f ′ 1 = 46, 5 × 35 46, 5 + 35 (11) Finalement : f ′ 1 = 20, 0cm (12) 2. Pour calculer ∆f ′ 1, on diérentie la formule de Descartes : −d(O1A′) (O1A′)2 + d(O1A) (O1A)2 = −d f ′ 1 f ′2 1 (13) On introduit les erreurs absolues en majorant : ∆(O1A′) (O1A′)2 + ∆(O1A) (O1A)2 = ∆f ′ 1 f ′2 1 (14) Finalement : ∆f ′ 1 = f ′2 1 [∆(O1A′) (O1A′)2 + ∆(O1A) (O1A)2 ] (15) Application numérique : On reprend la valeur exacte de f ′ 1, gardée en mémoire dans la calculatrice et on calcule : ∆f ′ 1 = f ′2 1 [ 0, 8 (46, 5)2 + 0, 4 (−35)2] (16) Finalement : ∆f ′ 1 = 0, 3cm (17) 2 1.1.3 La méthode de Bessel. 1. On pose O1A = p et AA′ = D On en déduit : O1A′ = O1A + AA′ (18) Soit : O1A′ = p + D (19) On applique maintenant la formule de Descartes : 1 p + D −1 p = 1 f ′ 1 (20) p(p + D) = f ′ 1(p −p −D) (21) p2 + Dp + Df ′ 1 = 0 (22) On résout cette équation du 2nd degré en p. Pour cela, on écrit le discriminant : ∆= D2 −4Df ′ 1 = D(D −4f ′ 1) (23) Il y a deux positions p1 et p2 si ∆> 0, soit : D > 4f ′ 1 (24) Finalement : Dmin = 4f ′ 1 (25) Dans ces conditions, les deux positions sont : p1 = −D + p D2 −4Df ′ 1 2 (26) Et : p2 = −D − p D2 −4Df ′ 1 2 (27) On a : ∆< D2 soit √ ∆< D. On en déduit que p1 < 0 et p2 < 0 : les deux positions calculées correspondent bien à un objet réel. De plus, on a bien : |p2| > |p1|. 2. On a : d = p1 −p2 (28) d = √ ∆ (29) d2 = ∆ (30) d2 = D2 −4Df ′ 1 (31) 3 Finalement, on trouve la formule de Bessel : f ′ 1 = D2 −d2 4D (32) 3. On diérentie la formule de Bessel, en prenant d'abord le logarithme népérien. Puis, on regroupe tout ce qui dépend de dD et on fait de mêm pour les termes en d(d). Ensuite, on majore pour faire apparaître les erreurs absolues ∆D et ∆d. ln f ′ 1 = ln(D2 −d2) −ln(4D) (33) d f ′ 1 f ′ 1 = 2DdD −2d.d(d) D2 −d2 −dD D (34) d f ′ 1 f ′ 1 = ( 2D D2 −d2 −1 D)dD −2d.d(d) D2 −d2 (35) ∆f ′ 1 f ′ 1 = ( D2 + d2 D(D2 −d2)∆D + 2d.∆d D2 −d2 (36) ∆f ′ 1 = (D2 −d2) 4D [ D2 + d2 D(D2 −d2)∆D + 2d.∆d D2 −d2] (37) Finalement : ∆f ′ 1 = [1 + ( d D)2]∆D 4 + d 2D∆d (38) Application numérique : ∆f ′ 1 = [1 + (30 90)2]1 4 + 30 2 × 90 × 1 (39) Soit : ∆f ′ 1 = 0, 4cm (40) 1.1.4 La méthode de Silbermann. 1. Le grandissement est dé ni par : γ = A′B′ AB (41) Or, pour une lentille mince sphérique dans l'approximation de Gauss : γ = O1A′ O1A (42) Or, γ = −1, d'où : 4 O1A′ = −O1A = AO1 = D0 2 (43) Or, 1 O1A′ − 1 O1A = 1 f ′ 1 (44) D'où : − 2 O1A = 1 f ′ 1 (45) Soit : AO1 = 2f ′ 1 (46) D0 2 = 2f ′ 1 (47) Finalement : f ′ 1 = D0 4 (48) Application numérique : f ′ 1 = 80, 4 4 (49) Soit : f ′ 1 = 20, 1cm (50) 2. Du résultat précédent, on déduit : ∆f ′ 1 f ′ 1 = ∆D0 D0 (51) ∆f ′ 1 = D0 4 ∆D0 D0 (52) Finalement : ∆f ′ 1 = ∆D0 4 (53) Application numérique : ∆f ′ 1 = 0, 5 4 (54) En écrivant ∆f ′ 1 à 0, 1cm près, on a : ∆f ′ 1 = 0, 1cm (55) 3. La méthode de Silberamann peut se déduire de la méthode de Bessel en considérant le cas où ∆= 0. En eet, il y a alors dans ce cas qu'une seule position de la lentille qui donne une image nette sur l'écran. En reprenant les expressions des positions p1 et p2, on obtient : p1 = p2 = −Dmin 2 , avec D0 = Dmin = 4f ′. 5 D'où : f ′ 1 = D0 4 (56) 1.1.5 Comparaison des méthodes. La méthode la plus rapide pour déterminer l'ordre de grandeur de la distance focale f ′ 1 est la méthode d'autocollimation. Cependant, la méthode de Silbermann est la méthode la plus précise car c'est celle qui a donné la valeur de ∆f ′ 1 la plus faible. 1.2 Lentille divergente (L2). 1. Notons A1 l'image intermédiaire de l'objet A. L'association de (L0) avec (L2) conjugue les points suivants : A →A1 →A′. On applique la formule de Descartes deux fois : 1 O2A1 − 1 O2A = 1 f ′ 0 = V0 (57) Et, 1 O2A′ − 1 O2A1 = 1 f ′ 2 = V2 (58) (57)+(58) donne : 1 O2A′ − 1 O2A = V0 + V2 (59) Finalement : 1 O2A′ − 1 O2A = V = V0 + V2 (60) La relation (60) est la formule de conjugaison d'une lentille de vergence V = V0 + V2 qui conjugue A et A′. V = V0 + V2 (61) 2. Le grandissement γ = −1. Or, γ = O2A′ O2A . D'où : O2A′ = AO2. On en déduit : D = AA′ = AO2 + O2A′ = 2O2A′ Soit : O2A′ = −O2A = D 2 . De la formule de Descartes (60), on déduit : 2 O2A′ = V (62) 4 D = V (63) Application numérique : D = 1m V = 4δ (64) 6 3. On en déduit la vergence V2 de : V2 = V −V0 Application numérique : V = 4δ et V0 = 8δ V2 = −4δ (65) La distance focale image f ′ 2 est dé nie par : f ′ 2 = 1 V2 Application numérique : f ′ 2 = −25, 0cm (66) 4. On calcule V2 avec : V = V0 + V2 −eV0V2 (67) Soit : V2 = V −V0 1 −eV0 (68) Application numérique : il faut penser à convertir e en m car δ = m−1. V2 = 4 −8 1 −0, 5.10−28 (69) Soit : V2 = −4, 2δ (70) On en déduit f ′ 2 = 1 V2 f ′ 2 = −24, 0cm (71) 1.2.1 Le viseur à frontale xe. 1. Notons V1 la position du viseur qui pointe l'objet AB et V2 celle qui pointe l'image A′B′. Soit d la frontale du uploads/Geographie/ 11-methode-de-badal-sliberman-bessel-correction.pdf

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