Université de La Réunion UFR SHE - Sciences de l'Homme et de l' Environnement E

Université de La Réunion UFR SHE - Sciences de l'Homme et de l' Environnement ED STS - École doctorale "Sciences, Technologies et Santé" Simulation numérique des phénomènes d'écoulement et de transport de masse en milieu poreux Thèse présentée et soutenue publiquement par Loïc DIJOUX pour l'obtention du grade de Docteur Spécialité : Mécanique des uides Composition du jury : Directeurs de thèse : Alain BASTIDE Université de La Réunion Vincent FONTAINE Université de La Réunion Rapporteurs : Philippe ACKERER Université de Strasbourg Hussein HOTEIT Kaust University Examinateurs : Khalid ADDI Université de La Réunion Kamal EL OMARI Université de Pau et des Pays de l'Adour La Réunion, Décembre 2019 ii iii Résumé Cette thèse est consacrée à la résolution numérique de l'écoulement et du transport de masse en milieu poreux hétérogène et anisotrope par les méthodes Hybrides de Galerkin Dis- continues (HDG). Ces nouvelles méthodes présentent de nombreux avantages : en eet, elles sont éligibles à la condensation statique, elles permettent un traitement e cace et robuste des termes de convection, de l'anisotropie ou de l'hétérogénéité et elles utilisent globalement moins d'inconnue que certaines méthodes H(div)-conformes. Nous présenterons dans ce tra- vail une variante HDG multiplicative et une autre projective pour le problème d'écoulement. L'originalité de ces variantes repose sur l'utilisation couplée (i) de fonctions de forme de RaviartThomas pour l'approximation du champ des vitesses de Darcy et (ii) d'opérateur de projection spéci que dans la dé nition des termes de stabilisation. Cette combinaison judicieuse permet de garantir une convergence sub-optimale de la variable d'état sans post- traitement et une reconstruction H(div)-conforme simpli ée de la variable duale. De nom- breuses expériences numériques sont alors présentées a n d'étudier la robustesse, la stabilité et la convergence de la méthode pour une large gamme de variation du nombre de Peclet. Mots-clés : Milieu poreux, écoulement, transport de masse, méthodes hybrides de Ga- lerkin discontinues, fonctions de stabilisation, technique de post-traitement. Abstract This thesis focuses on the numerical modelling of ow and mass transport in heteroge- neous and anisotropic porous media by Hybrid Discontinuous Galerkin (HDG) methods. The new class of HDG methods has many advantages. They are eligible for the static condensation technique, allow an e cient and robust treatment of convection terms, anisotropy or hetero- geneity, and use fewer degrees of freedom than standard H(div)-conforming methods. In this work, we will present a multiplicative HDG variant and a projective HDG variant for the ow problem. The originality of our variant is based on the coupled use of (i) Raviart-Thomas shape functions for approximating the Darcy velocity eld and (ii) a speci c projection ope- rator in the de nition of the stabilization functions. This sophisticated combination ensures a sub-optimal convergence of the state variable without any post-processing and a simpli ed H(div)-conforming reconstruction of the dual variable. Numerous numerical experiments are then presented to study the robustness, stability and convergence of the proposed method for a wide range of Peclet's number. Keywords : Porous media, ow, mass transport, hybrid discontinuous Galerkin methods, stabilization functions, post-processing techniques. iv v Remerciements Je tiens à exprimer mes remerciements à mon encadrant de thèse, Monsieur Vincent FONTAINE, sans qui je n'aurais pas pu réaliser cette thèse. Il a su être présent et patient envers moi durant ces trois années malgré les moments di ciles. Mes remerciements vont ensuite à mon directeur de thèse, Monsieur Alain BASTIDE. Il a su m'apporter un soutien précieux aux diérentes étapes importantes de ma thèse. Je remercie également mes collègues doctorants qui ont apporté leur joie et leur bonne humeur aux diérents moments de cette aventure de trois années. Merci également à Laetitia ADELARD qui m'a un jour proposé de m'engager dans une formation scienti que sur le campus du Tampon, qui m'a présenté à mon actuel encadrant de thèse dans le cadre d'un stage de Master et qui, par conséquent, a été celle qui m'a orienté vers cette thèse. Je remercie tout spécialement ma famille qui m'a soutenu et encouragé tout au long de mes études. Je les remercie d'avoir cru en moi et de m'avoir permis de réaliser ce long parcours. En n, d'une façon toute particulière, je tiens à remercier celle qui m'a apporté son sou- tien, sa patience et son amour, ma femme, Elodie DIJOUX. Merci de m'avoir aidé à être persévérant et à m'améliorer chaque jour. vi Table des matières 1 Introduction générale 1 1.1 Cadre Général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Verrous scienti ques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Plan du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Physique des transferts de masse en milieu poreux 5 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Le milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Hydrodynamique en milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.1 Description à l'échelle microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.2 Description à l'échelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Transport de soluté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4.1 La convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4.2 La dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4.3 Adsorption linéaire instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.4 L'équation de convectiondispersionréaction . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Modèle générique de loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5.1 Modèle mathématique générique à l'état stationnaire . . . . . . . . . 16 2.5.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5.3 Continuité du ux et conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . 18 2.5.4 Méthodes de résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Les méthodes mixtes de Galerkin 25 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 vii viii TABLE DES MATIÈRES 3.2 Quelques notations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1 La partition du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.2 Opérateurs traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.3 Espaces polynomiaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 uploads/Geographie/ 2019lare0033-ldijoux.pdf

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