2011-2012 http ://maths.cnam.fr CNAM - Paris MVA006 Corrig´ e du devoir n◦1 Exe

2011-2012 http ://maths.cnam.fr CNAM - Paris MVA006 Corrig´ e du devoir n◦1 Exercice 1 f(x, y) = x3 −y3 + 3x2 −3y2 1◦)          ∂f ∂x = 3x2 + 6x = 3x(x + 2) = 0 ⇒x1 = 0; x2 = −2 ∂f ∂y = −3y2 −6y = −3y(y + 2) = 0 ⇒y1 = 0; y2 = −2 ⇒ les 4 couples : M1 0 0 ; M2 0 −2 ; M3 −2 0 ; M4 −2 −2 . 2◦) ∂2f ∂x2 = 6x + 6; ∂2f ∂y2 = −6y −6; ∂2f ∂x∂y = ∂2f ∂y∂x = 0 rt −s2 = 6(x + 1)6(−y −1) = −36(x + 1)(y + 1) Calculons : (rt −s2)(M1) = −36 < 0 ⇒point col en M1. (rt −s2)(M2) = −36(1)(−1) = 36 > 0 et r(M2) = 6 > 0 ⇒M2 minimum local de f. (rt −s2)(M3) = −36(−1)(1) = 36 > 0 et r(M3) = −6 < 0 ⇒M3 maximum local de f. (rt −s2)(M4) = −36(−1)(−1) < 0 ⇒point col en M4. Exercice 2 1◦) Df = (R+ ⋇)2 f est le produit de fonctions de classe C∞sur (R+ ⋇)2 donc elle est C∞sur (R+ ⋇)2. De plus, quand (x, y) →(0+, 0+), on a : x ln y →0 et y ln x →0, donc f(x, y) →0 ⇒on peut prolonger par continuit´ e en (0, 0), en posant f(0, 0) = 0. 2◦) ∂f ∂x = ln y −y x ; ∂f ∂y = x y −ln x ; ∂2f ∂x2 = y x2 ; ∂2f ∂y2 = −x y2 ; ∂2f ∂x∂y = ∂2f ∂y∂x = 1 y −1 x = x −y xy . Page 1 kalfaian@cnam.fr 3◦) On r´ esout le syst` eme :        ln y −y x = 0 x y −ln x = 0 ie      x ln y = y y ln x = x D´ ej` a, on peut affirmer que x et y sont ̸= 1 car si x = 1, on a x y = 1 y = 0 absurde et si y = 1, on a 1 x = 0 absurde. On voit aussi que le point M e e est solution car ln e = 1 On a : ln y = y x et ln x = x y donc ln y ln x = 1, ce qui donne x = y = e. On calcule rt −s2 =  y x2  −x y2  − 1 y −1 x 2 = −1 xy −  1 y2 + 1 x2 −2 xy  = −1 y2 −1 x2 + 1 xy en (e, e) : (rt −s2)(e, e) = 1 e2 −1 e2 −1 e2 = −1 e2 < 0 Donc il y a un point col en M e e . ✯✯✯✯✯✯ Page 2 kalfaian@cnam.fr uploads/Geographie/ 12-13-devoir-correctionmva006-1-cle48275b.pdf

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