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Electronique B8 Gérard Hincelin Onde plane…milieux à pertes 37 Chapitre 4 .....

Electronique B8 Gérard Hincelin Onde plane…milieux à pertes 37 Chapitre 4 ................................................................................................................................ 38 L’ONDE PLANE DANS LES MILIEUX A PERTES........................................................... 38 I. EXPRESSION DES CHAMPS................................................................................................... 38 I.1 – Pertes dans le milieu.............................................................................................................. 38 I.2 – Permittivité complexe ........................................................................................................... 39 I.3 – L’onde amortie...................................................................................................................... 39 II. L’ONDE PLANE DANS UN METAL...................................................................................... 41 II.1 – Expression des champs........................................................................................................ 41 II.2 – Densité de puissance absorbée............................................................................................. 42 II.3 – Densité de courant superficiel.............................................................................................. 43 Exercices........................................................................................................................................... 45 Electronique B8 Gérard Hincelin Onde plane…milieux à pertes 38 Chapitre 4 L’ONDE PLANE DANS LES MILIEUX A PERTES Dans le vide ou dans un diélectrique idéal, le milieu n’introduit aucune atténuation de l’onde. La divergence du vecteur de Poynting est nulle : l’énergie est conservative et l’amplitude des champs magnétique et électrique est constante au cours de la propagation. Cette situation n’est possible que pour les ondes qui voyagent dans l’espace. Sur terre tous les milieux, y compris l’atmosphère, présentent une absorption plus ou moins forte, qui dépend de la fréquence. L’énergie est absorbée dans le milieu et l’amplitude des champs décroît au cours de la propagation : l’onde est atténuée. I. EXPRESSION DES CHAMPS I.1 – Pertes dans le milieu Le champ électrique induit dans le milieu un courant de conduction, de densité Jc proportionnelle à E : c J E σ = r r (4.1) Ce courant dissipe l’énergie de l’onde électromagnétique par effet Joule dans le milieu. Par conséquent l’atténuation de cette dernière est d’autant plus rapide que la conductivité est élevée. Milieux métalliques : Dans les métaux ce sont les électrons libres, très nombreux, qui assurent le transport des charges, leur conductivité est donc très élevée. Dans le domaine micro-ondes, soit entre 1 et 1000 GHz, la fréquence du champ électromagnétique est nettement plus faible que la fréquence de collision des électrons libres sur les atomes du réseau ( 13 10 c Hz ν > ) : les électrons ne voient donc pas le champ varier entre deux chocs successifs. Dans ces conditions la conductivité est pratiquement indépendante de la fréquence. Dans le domaine optique au contraire, la fréquence est beaucoup plus élevée. Elle vaut par exemple à λo = 1 µm (proche infra- rouge) : 8 14 6 0 310 310 10 c Hz ν λ − = = = Cette valeur est comparable, voire supérieure à νc. La « conductivité optique » des métaux varie généralement en fonction de la fréquence. Milieux diélectriques : Les diélectriques sont de bons isolants, qui peuvent présenter des pertes très faibles (mais non nulles). Dans une fibre optique monomode en silice très pure, par exemple, l’atténuation n’est que de 0,2 dB/km à λo = 1,55 µm, l’onde peut donc se propager sur de grandes distances. Les pertes sont dues à la présence d’impuretés résiduelles (ions OH- dans le cas de la silice), et à la diffusion de l’onde par les inhomogénéités du milieu (diffusion de Rayleigh). Electronique B8 Gérard Hincelin Onde plane…milieux à pertes 39 I.2 – Permittivité complexe Réintroduisons le courant de conduction dans la deuxième équation de Maxwell, soit pour une onde harmonique de pulsation ω : 0 r H E j E σ ωε ε ∇× = + r r r r (3.1) 0 0 1 r r H j j E σ ωε ε ωε ε   ∇× = −     r r r (3.2) Ce que l’on peut écrire : 0 d H j E ωε ε ∇× = r r r (3.3) A condition de poser : 0 1 d r r j σ ε ε ωε ε   = −     (3.4) Le courant de conduction est inclus dans la partie imaginaire de la permittivité complexe qui s’écrit encore : 0 d r j j σ ε ε ε ε ωε ′ ′′ = − = − (3.5) La partie imaginaire de εd, proportionnelle à σ rend compte des pertes dans le milieu. Un paramètre souvent utilisé comme mesure de ces pertes est le rapport de la partie imaginaire sur la partie réelle de l’équation (3.5), ou tangente de l’angle de perte : 0 p r tg σ θ ωε ε = (3.6) Dans la mesure où σ peut être considérée comme constante, ce paramètre diminue lorsque la fréquence augmente. Pour les très bons isolants ( 0 σ " ), l’expérience montre que le paramètre p tg θ varie peu en fonction de la fréquence (voir le calcul des pertes diélectriques dans les guides d’ondes). I.3 – L’onde amortie On cherche comme au paragraphe précédent, l’expression des champs dans l’hypothèse d’une onde plane. L’équation de Maxwell (3.3) est identique à l’équation (3.2) à condition de remplacer εr par εd avec Jc = 0. On est donc ramené au problème traité au paragraphe précédent. Tous les résultats sont transposables : • Il existe deux solutions orthogonales Ex/Hy et Ey/Hx. • Pour cette dernière, l’expression du champ électrique est donnée, pour l’onde directe, par la relation (3.22 ). [ ] 0 ( , ) exp ( y E z t E j t kz ω + = − (3.7) La constante de propagation est définie comme précédemment : 2 2 2 0 0 d d k c ω ω µ ε ε ε   = =     (3.8) C’est à ce niveau qu’il apparaît une différence avec le cas précédent, car la constante de propagation est complexe comme εd : 0 r k j c ω σ ε ωε = − (3.9) Electronique B8 Gérard Hincelin Onde plane…milieux à pertes 40 Pour calculer la racine carrée d’un nombre complexe Z, il est commode de passer en coordonnées polaires (ρ, θ), comme indiqué sur la figure suivante. Posons : [ ] 0 exp ( 2 ) r Z j j N σ ε ρ θ π ωε = − = − + Le module ρ et l’argument θ sont donnés par les relations : ( ) ( ) 2 2 0 0 r r tg σ ρ ε σ ωε θ ωε ε = + = Z à pour module ρ et pour argument θ/2 + Nπ. On trouve deux racines z1 et z2 : 1 2 exp( 2) exp( 2 ) z j A jB z j A jB ρ θ ρ θ π = − = − = − + = − + On en déduit deux valeurs possibles pour k : ( ) 1 k A jB j c ω β α = − = − ( ) 2 k A jB j c ω β α = − + = − + La solution 1 k j β α = − correspond à l’onde directe, ce que l’on montre en reportant cette valeur dans l’expression du champ électrique (3.7) : [ ] [ ] 0 0 ( , ) exp ( ) exp( )exp ( ) y E z t E j t j z E z j t z ω β α α ω β + = − − = − − (3.10) • La constante de propagation β est égale à la partie réelle de k1. • L’amplitude du champ s’amortit exponentiellement, avec un coefficient α égal à la partie imaginaire de k1. Exprimons le champ magnétique à l’aide de la première équation de Maxwell. Par commodité nous l’écrirons sous la forme (3.32) : 0 k E H µ ω × = r r r (3.11) Le vecteur d’onde possède uniquement une composante kz . Le développement du produit vectoriel (3.11) donne : • pour une solution Ey/Hx: 0 z y x k E H µ ω = − (3.12) • pour une solution EX/Hy : 0 z x y k E H µ ω = (3.13) La constante de propagation kz étant complexe, les champs E et H sont maintenant déphasés. Dans le cas où l’amortissement est faible (α << β), le déphasage est faible et les champs varient comme indiqué sur la figure ci-dessous : axe réel axe imaginaire 0 j σ ε ω − r ε ρ 1 z 2 z ρ ρ A - jB jB - A Electronique B8 Gérard Hincelin Onde plane…milieux à pertes 41 Profondeur de pénétration : L’amplitude des champs décroît en 0 ( ) exp( ) E z E z α + = − . La profondeur de pénétration δ est une estimation de la « rapidité de l’amortissement » de l’onde dans un milieu donné, elle correspond à la distance au bout de laquelle l’amplitude est réduite à 1/e de sa valeur initiale, soit : 1 δ α = (3.14) Dans un métal, où δ est très faible, la profondeur de pénétration représente l’épaisseur de peau. II. L’ONDE PLANE DANS UN METAL II.1 – Expression des champs La conductivité des métaux étant très élevée, on peut en première approximation négliger la partie réelle devant la partie imaginaire dans l’expression (3.9) de k et écrire : 0 k j c ω σ ωε − " (3.15) En prenant la partie réelle et la partie uploads/Geographie/ 5-milieux-a-pertes.pdf