Abdelilah Ammar 2020/2021 Master Géométrie, Analyse et Applications Module Géom

Abdelilah Ammar 2020/2021 Master Géométrie, Analyse et Applications Module Géométrie riemannienne II, Devoir 3 Solution 1. Soit (M, g) une variété riemannienne, et ∇sa connexion de Levi-Civita. Une structure hermitienne sur (M, g) est un champ d'endomorphismes J : TM − →TM qui satisfait J2 = −IdTM, pour tout x ∈M, J : TxM − →TxM est une endomorphisme et pour tout u, v ∈TxM, g (Ju, Jv) = g (u, v) . Pour tout champ de vecteur X, JX est un champ de vecteur dé ni par (JX) (x) = J (X (x)) . La dérivée de J est dé nie par : (∇XJ) (Y ) = ∇X (JY ) −J (∇XY ) , le tenseur de Ni-jenhuis de J est donnée par : NJ (X, Y ) = 2 {[JX, JY ] −J [X, JY ] −J [JX, Y ] −[X, Y ]} et la forme fondamentale de J est donnée par ω (X, Y ) = g (JX, Y ) . On dira que la structure hermitienne (M, g, J) est Kahlérienne si (∇XJ) (Y ) = 0 pour tout X, Y ∈X (M) . (1) On suppose que (M, g, J) est hermitienne. (a) Montrer que NJ et ∇J sont C∞(M) −linéaire. (i) Pour NJ, Soit f ∈C∞(M), on a NJ (fX, Y ) = 2 {[JfX, JY ] −J [fX, JY ] −J [JfX, Y ] −[fX, Y ]} = 2 {JfX.JY −JY.JfX −JfX.JY + JJY.fX −JJfX.Y +JY.JfX −fX.Y + Y (f) X + fY.X} = 2 {fJX.JY −J (Y (f)) .JX −fJY.JX −fJX.JY +JJ (Y (f)) .X + fJJY.X −fJJX.Y + J (Y (f)) .JX +fJY.JX −f [X, Y ] + Y (f) X} = 2 {f [JX, JY ] −fJ [X, JY ] −fJ [JX, Y ] −f [X, Y ] −J (Y (f)) .JX + JJ (Y (f)) .X + J (Y (f)) .JX +Y (f) X} en utilisant le fait que (M, g, J) est hermitienne J2 = −IdTM  , on obtient que NJ (fX, Y ) = fNJ (X, Y ) . 1 2 et on a NJ (X, fY ) = 2 {[JX, JfY ] −J [X, JfY ] −J [JX, fY ] −[X, fY ]} = 2 {JX.JfY −JfY.JX −JX.JfY + JJfY.X −JJX.fY +JfY.JX −X (f) .Y −fX.Y + fY.X} = 2 {J (X (f)) .JY + fJX.JY −fJY.JX −J (X (f)) .JY −fJX.JY + fJJY.X −JJ (X (f)) .Y −fJJX.Y +fJY.JX −X (f) .Y −f [X, Y ]} = 2 {f [JX, JY ] −fJ [X, JY ] −fJ [JX, Y ] −f [X, Y ] +J (X (f)) .JY −J (X (f)) .JY −JJ (X (f)) .Y −JJ (X (f)) .Y } = fNJ (X, Y ) . D'où NJ est C∞(M) −linéaire. (ii) Pour ∇J, soit Soit f ∈C∞(M), on a (∇fXJ) (Y ) = ∇fX (JY ) −J (∇fXY ) = f∇X (JY ) −fJ (∇XY ) = f (∇XJ) (Y ) et on a (∇XJ) (fY ) = ∇X (JfY ) −J (∇XfY ) = ∇X (fJY ) −J (∇XfY ) = X (f) .JY + f∇X (JY ) −J (X (f) .Y + f∇XY ) = f∇X (JY ) −fJ (∇XY ) = f (∇XJ) (Y ) . D'où ∇J est C∞(M) −linéaire. (b) (c) Calculer NJ en fonction de ∇J et dω en fonction de ∇J (i) NJ en fonction de ∇J, on a NJ = 2 {[JX, JY ] −J [X, JY ] −J [JX, Y ] −[X, Y ]} = 2 {∇JX (JY ) −∇JY (JX) −J∇X (JY ) +J∇Y (JX) −∇XY + ∇Y X + J∇JY X −J∇JXY } = 2 {∇JX (JY ) −J∇JXY −(∇JY (JX) −J∇JY X) −∇X (JJY ) + ∇Y (JJX) −(∇Y J) (JX) + (∇XJ) (JY )} = 2 {(∇JXJ) (Y ) −(∇JY J) (X) + (∇XJ) (JY ) −(∇Y J) (JX)} 3 (ii) dω en fonction de ∇J,soient X, Y et Z ∈X (M), on a dω (X, Y, Z) = X.ω (Y, Z) −Y.ω (X, Z) + Z.ω (X, Y ) −ω ([X, Y ] , Z) −ω ([Y, Z] , X) + ω ([X, Z] , Y ) = X.g (JY, Z) −Y.g (JX, Z) + Z.g (JX, Y ) −g (J [X, Y ] , Z) −g (J [Y, Z] , X) + g (J [X, Z] , Y ) = g (∇XJY, Z) + g (JY, ∇XZ) −g (∇Y JX, Z) +g (∇ZJX, Y ) + g (JX, ∇ZY ) −g (J (∇XY ) , Z) +g (J (∇Y X) , Z) −g (J (∇Y Z) , X) −g (JX, ∇Y Z) +g (J (∇ZY ) , X) + g (J (∇XZ) , Y ) = g (∇XJ (Y ) , Z) −g (∇Y J (X) , Z) + g (∇ZJ (X) , Y ) +g (JY, ∇XZ) −g (JX, [Y, Z]) +g (J (∇XZ) , Y ) −g (J [Y, Z] , X) = g (∇XJ (Y ) , Z) −g (∇Y J (X) , Z) −g (∇ZJ (X) , Y ) car g (∇XZ, JY ) = −g (J (∇XZ) , Y ) et −g (JX, [Y, Z]) = g (X, J [Y, Z]) (d) Montrer que si ∇J = 0 alors NJ et dω sont nulles Puisque NJ et dω sont écrit en fonction de ∇J il est facile de voir que NJ = 0 et dω = 0. (e) Montrer la formule : 4g ((∇XJ) (Y ) , Z) = 6dω (X, JY, JZ) −6dω (X, Y, Z) + g (NJ (Y, Z) , JX) on a 2g (∇X (JY ) , Z) = X.g (JY, Z) + JY.g (X, Z) −Z.g (X, JY ) +g ([X, JY ] , Z) + g ([Z, X] , JY ) +g ([JY, Z] , X) et 6dω (X, JY, JZ) = 6 {X.g (JJY, JZ) −JY.g (JX, JZ) +JZ.g (JX, JY ) −g (J [X, JY ] , JZ) −g (J [JY, JZ] , X) + g (J [X, JZ] , JY )} et −6dω (X, Y, Z) = −6 {X.g (JY, Z) −Y.g (JX, Z) + Z.g (JX, Y ) −g (J [Y, Z] , X) + g (J [X, Z] , Y ) −g (J [X, Y ] , Z)} et g (NJ (Y, Z) , JX) = 2 {g ([JY, JZ] , JX) + g ([Z, JY ] , X) −g ([Y, Z] , JX) + g ([JZ, Y ] , X)} et on a (∇XJ) (Y ) = ∇X (JY ) −J (∇XY ), donc 4g ((∇XJ) (Y ) , Z) = 4g (∇X (JY ) −J (∇XY ) , Z) = 4g (∇X (JY ) , Z) −4g (J (∇XY ) , Z) (2) On suppose que (M, g, J) est Kahlérienne. (a) Montrer que le tenseur de courbure R véri e R (X, Y ) ◦J = J ◦R (X, Y ) . 4 Soient X, Y et Z trois champs de vecteurs dans X (M), on a R (X, Y ) ◦JZ = ∇X∇Y JZ −∇Y ∇XJZ −∇[X,Y ]JZ = ∇X (J∇Y Z) −∇Y (J∇XZ) −J ∇[X,Y ]Z  = J (∇X∇Y Z) −J (∇Y ∇XZ) −J ∇[X,Y ]Z  = J ◦R (X, Y ) Z. D'où le résultats. (b) Soit (E1, · · · , En) un champ de repère orthonormée, on pose un champ de repère orthonormée  ˜ E1, · · · , ˜ En  tq ˜ Ei = JEi ∀i. On a ric (JX, JY ) = n X i=1 g (R (Ei, JX) JY, Ei) = n X i=1 g (J (R (Ei, JX) Y ) , Ei) = − n X i=1 g (R (Ei, JX) Y, JEi) = n X i=1 g (R (Y, JEi) JX, Ei) = n X i=1 g (J (R (Y, JEi) X) , Ei) = − n X i=1 g (R (Y, JEi) X, JEi) = n X i=1 g  R  ˜ Ei, X  Y, ˜ Ei  = ric (X, Y ) . et Trace (J ◦R (X, JY )) = n X i=1 g (J (R (X, JY ) Ei) , Ei) = − n X i=1 g (R (X, JY ) Ei, JEi) = n X i=1 g (R (Ei, X) JY, JEi) + n X i=1 g (R (JY, Ei) X, JEi) = n X i=1 g (J (R (Ei, X) Y ) , JEi) + n X i=1 g (R (X, JEi) JY, Ei) = n X i=1 g (R (Ei, X) Y, Ei) − n X i=1 g (R (X, JEi) Y, JEi) = n X i=1 g (R (Ei, X) Y, Ei) + n X i=1 g  R  ˜ Ei, X  Y, ˜ Ei  = 2ric (X, Y ) . 5 Exercice 2. Soit X un champ de Killing dans une variété riemannienne. Montrer que si γ : [a, b] − →M est une géodésique alors V (t) = X (γ (t))est un champ de Jacobi le long de γ. uploads/Geographie/ devoir-3-gr.pdf

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Administrationchamp (∇xj) montrer fonction hermitienne
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