PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N◦1 - 21/09/16 - CORRIGÉ A. MARTIN Optique gé

PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N◦1 - 21/09/16 - CORRIGÉ A. MARTIN Optique géométrique d’après CCP MP 2011 I. Objectif assimilé à une simple lentille mince 1. Théorème de Pythagore : d = p l2 + L2 = 43 mm. 2. L’image A′ est déterminée par l’intersection du rayon confondu avec l’axe optique et d’un rayon parallèle à cet axe, émergent par le foyer image F ′. Il peut aussi être trouvé par la propriété d’aplanétisme après avoir trouvé B′. L’image B′ est un foyer image secondaire dont la position est obtenue grâce au rayon passant O qui est non dévié. O F’=A’ B’ B∞ A∞ α α Leq Capteur 3. L’angle n’étant pas orienté, on a A′B′ = f′ eq tan α . 4. L’image a une taille maximale A′B′ = d 2 donc 2 × αmax = 2 arctan d 2f′ eq ! = 2 arctan √ l2 + L2 2f′ eq ! = 0, 82 rad = 47 ◦. 5. Etant donné que l’objet se rapproche, l’image s’éloigne (se voit sur la construction ou sur une relation de conjugaison). Donc il faut déplacer l’objectif vers l’objet (l’éloigner du capteur). O A’ B’ B A Leq Capteur F’ 6. La relation de conjugaison de Descartes s’écrit 1 OA′ − 1 OA = 1 f′ eq ⇔ 1 f′ eq + t + 1 x = 1 f′ eq = ⇒t = f′ eq   1 −f′ eq x !−1 −1  = −f′ eq 2 f′ eq −x . 1 PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N◦1 - 21/09/16 - CORRIGÉ A. MARTIN 7. Si x ∈[100f′ eq; +∞] alors t ∈[0; 0, 01f′ eq] = [0; 0, 5 mm]. Un tel déplacement est quasi imperceptible. En pratique il n’y a donc pas de mise-au-point à faire à de telles distances. 8. Si x ∈[10f′ eq; 100f′ eq] alors t ∈[0, 01f′ eq; 0, 1f′ eq] = [0, 5 mm; 5 mm]. Cette fois la mise-au-point devient indispensable. II. Objectif bifocal II.1. Configuration (a) 9. Soit un objet A ayant pour image par L2 le point A1 qui a pour image par L3 le point A′. Les relations conjugaison avec origine au centre O2 = O3 s’écrivent : 1 O2A1 − 1 O2A = 1 f′ 2 et 1 O2A′ − 1 O2A1 = 1 f′ 3 d’où en sommant, 1 O2A′ − 1 O2A = 1 f′ 2 + 1 f′ 3 . On a bien un système équivalent à une seule lentille dont la focale serait : f′ 23 =  1 f′ 2 + 1 f′ 3 −1 = 84 mm. Puisque f′ 23 > 0, la lentille équivalente est convergente. 10. Un système est afocal si un objet à l’infini donne une image à l’infini. Nécessairement, cela impose donc une image intermédiaire A1 qui soit à la fois dans le plan focal image de {L2, L3} et dans le plan focal objet de L4. Donc A1 = F ′ 23 = F4. Ainsi O2O4 = O2F ′ 23 + F4O4 donc O2O4 =  1 f′ 2 + 1 f′ 3 −1 + f′ 4 = 24 mm. 11. Le rayon passant par F23 émerge de L23 parallèle à l’axe puis émerge de L4 en passant par F ′ 4. Le rayon passant par O2 n’est pas dévié par L23, puis émerge parallèle au rayon précédent puisque le système est afocal. Toutefois on peut aussi trouver sa marche après L4 comme suit : — soit grâce au foyer image secondaire S′ 4 (image d’un faisceau paralèlle incident fictif, pointillés serrés) ; — soit grâce au foyer objet secondaire S4 (dont l’image est un faisceau parallèle). On note que S4 est aussi l’image intermédiaire B1 par L23 du point B∞situé à l’infini. O2 F’23=F4 L23 O4 L4 F’4 S’4 F23 S4 = B1 α′ α α B∞ B’∞ 12. Soit A1B1 l’image intermédiaire (on a A1 = F4). D’après le tracé précédent, il vient tan α = A1B1 f′ 23 et tan α′ = −A1B1 f′ 2 . Dans les conditions de Gauss on a tan α ∼α et tan α′ ∼α′, d’où : Ga = −f′ 23 f′ 4 = −1 f′ 4  1 f′ 2 + 1 f′ 3 −1 = 1, 4 . 2 PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N◦1 - 21/09/16 - CORRIGÉ A. MARTIN II.2. Configuration (b) 13. Les lentilles L2 et L4 étant identiques, on a en fait un système correspondant à la permutation des deux lentilles L23 et L4 dans la configuration précédente. Or d’après le principe de retour inverse de la lumière, on ce système est afocal quelque soit le sens de propagation de la lumière. Le système est donc toujours afocal. 14. La méthode est la même que précédemment. Le rayon passant par F2 émerge de L23 parallèle à l’axe puis émerge de L34 en passant par F ′ 34. Le rayon passant par le centre O2 émerge parallèle au précédent. On peut aussi se servir soit du foyer secondaire image S′ 34, ou du foyer secondaire objet S34, qui est aussi l’image intermédiaire B1 formée par L2. O2 F’34=F4 L34 O4 L2 F2 S’34 F34 S34 = B1 B∞ B’∞ 15. Le dispositif correspond au précédent dans lequel on a inversé le sens de propagation de la lumière. Cela revient donc à inverser les rôles de α et α′ par rapport à la question 12., donc : Gb = 1 Ga = −f′ 2  1 f′ 3 + 1 f′ 4  = 0, 71 . II.3. Système complet 16. L’image donnée par L4 est à l’infini, donc l’image donnée par L1 est dans son plan focal image. C’est là qu’on doit placer le capteur. La distance O4O1 n’a pas d’influence puisque l’image intermédiaire est à l’infini. 17. Pour diminuer l’encombrement, il vaut mieux accoler les lentilles L4 et L1. 18. En sortie de L4, l’angle du faisceau est α′ (cf 12. et 15.). Le résultat de la question 3. s’applique donc ici avec l’angle α′ et la focale f′ 1 : A′′B′′ = f′ 1 tan α′ = f′ 1 tan α′ tan α tan α. Or le grossissement obtenu précédemment dans les conditions de Gauss vérifie toujours Gi = tan α′ tan α = Gi (ceci est vrai même pour α et α′ non petits). On en déduit A′′B′′ = f′ 1 Gi tan α . 19. D’après la question 3., on a d = 2A′′B′′max = 2f′ eq tan αmax. Or ici 2A′′B′′max = 2f′ 1Gi tan αmax, donc on en déduit la focale équivalente f′ eq = f′ 1Gi . Ceci conduit dans les deux configurations à f′ a = f′ 1Ga = 70 mm et f′ b = f′ 1Gb = 36 mm. 20. D’après la question 3., on obtient alors avec ces focales extrêmes 2 × αmax,a = 2 arctan  d 2f′ a  = 0, 60 rad = 34◦ et 2 × αmax,b = 2 arctan d 2f′ b ! = 1, 1 rad = 62◦. Ces champs sont trop importants pour respecter les conditions de Gauss, qui ne sont plus vérifiées. 3 PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N◦1 - 21/09/16 - CORRIGÉ A. MARTIN 21. Intérêt : l’objectif bifocal permet de faire varier la focale dans une plage (somme toute réduite) entre 36 et 70 mm. Rappelons en effet que plus la focale est grande plus l’image sera grande pour un objet lointain (effet de « zoom »). Toutefois, cela se fait au prix d’un encombrement supérieur non négligeable : O2O4 + f′ 1 = 24 + 50 = 74 mm. L’autre inconvénient est qu’il sera probablement plus difficile de bien corriger les aberrations géomé- triques et chromatiques puisqu’il y a plusieurs lentilles. Certains photographes préfèrent ainsi utiliser une focale fixe pour la qualité de l’image. III. Objectifs dédiés spécifiquement à la macrophotographie 22. En reprenant les notations et les équations de la question 6., on obtient xm =  1 f′ 1 − 1 f′ 1 + tM −1 = f′ 1  1 + f′ 1 tM  = 47 cm 23. Les relations conjugaison avec origine au centres s’écrivent : 1 O5A1 − 1 O5A = 1 f′ 5 et 1 O1A′ − 1 O1A1 = 1 f′ 1 ⇐ ⇒ 1 O5A1 +1 x = 1 f′ 5 et 1 f′ 1 + tM + 1 e −O5A1 = 1 f′ 1 . En les combinant, ceci conduit à xm =  1 f′ 5 − e −  1 f′ 1 − 1 f′ 1 + tM −1!−1  −1 = 22 cm . On a bien rapproché la limite de ce que l’on peut photographier. 4 uploads/Geographie/ 6-appareil-photographique-corrige.pdf

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• Publié le Jui 26, 2022
• Catégorie Geography / Geogra...
• Langue French
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