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Planétarium de Strasbourg Année 2009/2010 Mesure de la distance Terre - Lune Ni

Planétarium de Strasbourg Année 2009/2010 Mesure de la distance Terre - Lune Niveau Dès la seconde Objectif Mesurer en utilisant trois méthodes distinctes la distance séparant la Terre de la Lune. Une méthode utilisera les éclipses de Lune, une autre utilisera la triangulation (ou parallaxe), la dernière méthode utilisera l’écho laser. Compétences Utiliser les puissances de 10 dans l’évaluation des ordres de grandeur, dans les calculs, et dans l’expression des données et des résultats. Repérer un angle. Mesurer une petite et une grande distance : - Mettre en œuvre une technique de mesure utilisée en Travaux Pratiques. - Garder le nombre de chiffres significatifs en adéquation avec la précision de la mesure. - Exprimer le résultat avec une unité adaptée. Connaître la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide et savoir qu’il s’agit d’une vitesse limite. Pré requis Connaître le mouvement de la Lune autour de la Terre, et de la Terre autour du Soleil. Savoir qu’il existe des éclipses de lune. Connaître la relation entre la vitesse, la distance et le temps. Connaître les bases de la trigonométrie au collège. Durée Activité 1 : 15 minutes Activité 2 : 15 minutes Activité 3 : 10 minutes Déroulement L ’objectif est de montrer aux élèves l’évolution des techniques de mesure de grandes distances au cours de l’Histoire, à travers trois méthodes. La première méthode, datant de Activités pédagogiques – Version professeur Vallejo Olivier – Chargé de mission Planétarium de Strasbourg Année 2009/2010 l’antiquité grecque, a permis à Hipparque de déterminer la distance Terre-Lune à partir de l’observation des éclipses de Lune. La deuxième méthode, datant du XVIIIème siècle, a été proposée par deux scientifiques français Lalande et La Caille. Elle utilise la méthode de triangulation (ou parallaxe) pour calculer la distance Terre – Lune. Enfin la dernière méthode, très récente, utilise la technique de l’écho laser. 1) La méthode des éclipses Aristarque de Samos (300 – 230 av J.C.) fut un des premiers à essayer de déterminer la distance entre la Terre et la Lune, en utilisant l’observation des éclipses de Lune. Pour faire ses calculs, il a eu besoin de connaître le rayon de la Terre, rayon qu’Erathostène calcula en 236 av J.C.. Nous allons ici nous intéresser plutôt à la méthode proposée par Hipparque en 167 av J.C., qui est un peu plus précise. Voici les hypothèses formulées par Hipparque pour calculer la distance Terre – Lune : - La Terre est ronde. - La durée d’une éclipse de Lune est de 2,5 h maximum. - La durée de la lunaison est de 29,5 jours (période synodique). - Le diamètre apparent du soleil est de 0,50 ° soit 30 minutes d’arc. - La parallaxe de la Terre depuis le Soleil est négligeable (  90°) Activités pédagogiques – Version professeur Vallejo Olivier – Chargé de mission Planétarium de Strasbourg Année 2009/2010 a) Calculer l’angle  sachant qu’il s’agit de l’angle formé par la position entrante et la position sortante de la Lune dans le cône d’ombre de la Terre. Dans l’Antiquité grecque la seule mesure que pouvaient faire les savants suffisamment précise était celle du temps. En mesurant la durée moyenne des éclipses de Lune sur plusieurs années, et connaissant la durée de la Lunaison ils ont ainsi déterminé un angle (l’angle ). L ’idée était d’utiliser la mesure du rayon de la Terre faite par Erathostène quelques années plus tôt pour déterminer la distance Terre Lune en utilisant la trigonométrie de Pythagore et Thalès. Pour calculer cet angle il suffit d’appliquer la proportionnalité. En faisant l’approximation que la trajectoire de la Lune est un cercle de centre C (le centre de la Terre) on pose comme angle de rotation 360° pour la lunaison, il ne reste plus qu’à calculer l’angle correspondant à la durée d’une éclipse.      3 . 1 24 5 . 29 360 5 . 2  La durée de l’éclipse nous est donnée avec deux chiffres significatifs, nous donnerons donc le résultat final avec la même précision. Activités pédagogiques – Version professeur Vallejo Olivier – Chargé de mission Planétarium de Strasbourg Année 2009/2010 b) En déduire l’angle . La parallaxe de la Terre depuis le Soleil est très petite (environ 8 secondes d’arc), il était donc légitime de la négliger. ( 1° = 3600 secondes d’arc) Ensuite il suffit et il faut utiliser la propriété des angles :      180 2 2     On en déduit           89 ) 64 . 0 90 25 , 0 ( 180 ) 2 2 ( 180     c) A partir des relations trigonométriques dans le triangle CLT , rectangle en T , en déduire la distance Terre – Lune en fonction du rayon de la Terre RT. Nous devons utiliser la propriété du triangle rectangle pour calculer la longueur de l’hypoténuse du triangle CLT . Nous venons de calculer l’angle , connaissant le rayon de la Terre il suffit et il faut utiliser la relation du cosinus de l’angle  : d) Sachant qu’Erathostène a estimé le rayon de la Terre à 6500 km, donner l’estimation d’Hipparque de la distance Terre – Lune. Activités pédagogiques – Version professeur Vallejo Olivier – Chargé de mission  cos T TL R d  Planétarium de Strasbourg Année 2009/2010 L ’application numérique va donner : km dTL 5 10 2 . 4 89 cos 6500    Il sera intéressant de comparer les valeurs obtenues pour chacune des trois méthodes et éventuellement de discuter pour savoir quelles sont les sources d’incertitudes dans chacune des méthodes. Pour la méthode des éclipses, la première « erreur » vient du fait que les Grecs ont utilisé la période synodique de la Lune (c’est à dire 29,5 jours) alors qu’il aurait fallu utiliser la période sidérale (à savoir 27 jours et 8 heures) qui correspond effectivement à la durée d’une révolution lunaire autour de la Terre. Une deuxième approximation a été faite, celle que la trajectoire de la Lune est un cercle, ce qui n’est pas tout à fait exact. La dernière approximation, celle de la parallaxe terrestre (8 secondes d’arc), conduit à une erreur de 0.002° ce qui est négligeable par rapport aux incertitudes précédentes. 2) La méthode de parallaxe Lalande et La Caille ont proposé en 1751 une méthode de triangulation pour calculer la distance Terre – Lune. Cette méthode appelée aussi méthode de la parallaxe consiste à mesurer l’angle sous lequel on voit la Lune par rapport au zénith à deux positions éloignées sur la Terre. Lalande se trouvait à Berlin (Allemagne) alors que La Caille se trouvait au Cap de Bonne Espérance (Afrique du Sud). Au point B, c’est à dire à Berlin, Lalande mesure un angle z1 entre le zénith et la Lune. Au point C, c’est à dire au Cap de Bonne Espérance, La Caille mesure un angle z2 entre le zénith et la Lune. 1 et 2 sont les latitudes respectives de Berlin et du Cap de Bonne Espérance. Activités pédagogiques – Version professeur Vallejo Olivier – Chargé de mission Planétarium de Strasbourg Année 2009/2010 a) Exprimer , la parallaxe lunaire, en fonction de z1, z2, 1 et 2. Pour cela il suffit et il faut utiliser la propriété des angles d’un quadrilatère, à savoir la somme des angles d’un quadrilatère est égale à 360°. Nous nous plaçons dans le quadrilatère CBLE (C est le centre de la Terre, B est la ville de Berlin, L est le centre de la Lune et E le Cap de Bonne-Espérance). On en déduit :         360 180 180 2 1 2 1 z z          0 2 1 2 1 z z    D’où 2 1 2 1        z z b) Applications numériques : - 1 = 52,52 ° Activités pédagogiques – Version professeur Vallejo Olivier – Chargé de mission Planétarium de Strasbourg Année 2009/2010 - 2 = 34,36 ° - z1 = 53,52 ° - z2 = 34,66 ° Pour l’application numérique nous avons quatre chiffres significatifs pour les valeurs des angles, par conséquent l’angle  devra être donné avec la même précision :       300 , 1 36 , 34 52 , 52 66 , 34 52 , 53  c) En faisant l’approximation suivante T TL R d z z    2 1 sin sin (où dTL est la distance Terre – Lune et RT est le rayon terrestre) calculer la valeur de la distance Terre - Lune. Données : RT = 6378 km Pour retrouver l’approximation donnée dans l’énoncée il faut faire supposer qu’  est angle petit et que, par conséquent, le sinus de cet angle peut être assimilé à la valeur de l’angle lui- même (exprimée en radians) :   sin Ensuite en utilisant uploads/Geographie/ activites-planetarium-la-distance-terre-lune-professeur.pdf