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N◦d’ordre : 994 THÈSE pour obtenir le grade de DOCTEUR de l’Université de Toulo

N◦d’ordre : 994 THÈSE pour obtenir le grade de DOCTEUR de l’Université de Toulouse Spécialité : Mathématiques appliquées préparée au laboratoire Institut de Mathématique de Toulouse, équipe MIP dans le cadre de l’École Doctorale Mathématiques Informatique et Télécommunications de Toulouse présentée et soutenue publiquement par Jérémie LASRY Titre: Calculs de plaques ﬁssurées en ﬂexion avec la méthode des éléments ﬁnis étendue (XFEM) Directeurs de thèse : Yves RENARD et Michel SALAÜN Jury M. Anthony GRAVOUIL INSA Lyon Rapporteur M. Patrick HILD Université de France-Comté Rapporteur M. Patrick LABORDE Université Toulouse III M. Marc BALZANO Airbus France M. Yves RENARD INSA Lyon Directeur de thèse M. Michel SALAÜN ISAE/ENSICA Directeur de thèse Remerciements Je remercie vivement mes directeurs de thèse Yves Renard et Michel Salaün, pour leurs très grandes qualités scientiﬁques et humaines. Leur encadrement a été très efﬁcace et constructif, tout en laissant beaucoup de place pour mes initiatives personnelles. Ils m’ont poussés à être exigeant, et m’ont soutenu dans les moments difﬁciles. La ﬁabilité de leur engagement à mon égard a été infaillible. Je remercie également Patrick Laborde, qui dirige notre équipe de recherche. Il m’a suivi de près avec beaucoup de bienveillance, et s’est rendu disponible lorsque je lui de- mandais des conseils. Son action a été très importante, notamment pour le démarrage et le suivi de la thèse. Celle-ci n’aurait pu voir le jour sans l’intérêt et le soutien de Marc Balzano, ingénieur à Airbus-France. Son dynamisme, ses qualités d’écoutes, et ses capacités à porter notre projet dans sa hiérarchie ont été déterminantes pour amorcer la thèse. Je le remercie éga- lement pour la conﬁance qu’il m’a témoigné et la motivation qu’il m’a transmis, tout au long de la thèse. Je remercie également les deux rapporteurs de cette thèse, Anthony Gravouil et Pa- trick Hild, pour leur disponibilités et leurs qualités humaines. Et bien sur pour l’intérêt qu’ils ont montré pour mon travail. Leurs qualités scientiﬁques font autorité, et je suis particulièrement honoré qu’ils acceptent de s’associer à ce travail. Il me faut également saluer Julien Pommier, ingénieur de recherche, qui m’a beau- coup aidé pendant la thèse. Il m’a transmis un peu de son immense expertise du calcul numérique, avec beaucoup de générosité et de pertinence. Je remercie également tous les membres de mon bureau qui étaient en premières lignes pour partager les événements forts de ma thèse : Yanwen, Cynthia, et bien sur Elie, Mat- thieu et Erwan. Un grand merci à tous les membres du département Génie Mathématique et Modélisa- tion de l’INSA. J’ai beaucoup apprécié l’ambiance chaleureuse qui y règne et les valeurs humaines qui y sont défendues. J’ai beaucoup de gratitude envers les personnes que j’ai rencontré à Airbus, pour leurs encouragements et leur intérêt : Laurence Le Divenah, Pierre-Jean Rohic, Bruno Rosem- berg et Delphine Gardonio. Je remercie enﬁn toutes les personnes qui m’ont soutenu et qui ont tant comptées pour moi. Corinne, au début de la thèse. Et Elise. Tous les amis aussi : Marie qui me suit depuis longtemps (bientôt ton tour de soutenir !), Marc, Ludo, Gino, Sylvain, Jean. Sans oublier Pablo, Tiphaine, Fanny, Juliette, Guillaume. Et bien d’autres évidemment. Je ne peux trouver les bons mots à adresser à ma famille. Pour mon père, mes frères et mes petites perles de soeurs, qui sont tous formidables. Pour tous les autres aussi. Et une pensée pour ma mère qui manque tant. 2 Table des matières Table des matières 3 Table des ﬁgures 7 Introduction 11 1 Modélisation en éléments ﬁnis des plaques ﬁssurées 19 1 Modèles de plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Modèle de Kirchhoff-Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Modèle de Mindlin-Reissner-Naghdi . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Discrétisation par la Méthode des Eléments Finis (MEF) . . . . . . . . . 37 2.1 Discrétisation du modèle de Kirchhoff-Love en éléments ﬁnis C1 . 37 2.2 Traitement du verrouillage numérique pour le modèle de Mindlin- Reissner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Mécanique de la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 Modes de rupture et facteurs d’intensité de contrainte (FIC) . . . 49 3.2 Calcul de FIC par Intégrale-J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Simulation numérique de la propagation de ﬁssure en MEF . . . . 54 2 Etat de l’art de la méthode XFEM appliquée aux plaques ﬁssurées en ﬂexion 57 1 Méthode XFEM appliquée aux problèmes d’élasticité bidimensionnelle . 58 1.1 Première version de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.2 Améliorations et contributions diverses . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Méthode XFEM appliquée aux plaques en ﬂexion . . . . . . . . . . . . . 65 2.1 XFEM avec éléments ﬁnis MITC 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2 XFEM appliquée à un modèle de coque non-linéaire . . . . . . . 67 3 TABLE DES MATIÈRES 2.3 Couplage XFEM 3D / coque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 The eXtended Finite Element Method for thin cracked plates with Kirchhoff- Love theory 69 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2 The Model Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.1 Notations and variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2 Asymptotic displacement near the crack tip and Fracture Modes . 73 3 Finite element approximation of the Kirchhoff-Love model . . . . . . . . 74 3.1 Choice of the ﬁnite element discretization . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Integral matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4 XFEM enrichments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2 An incompatibility between H-enrichment and the FVS element . 78 4.3 First enrichment strategy : adding degrees of freedom on each node 80 4.4 Two dofs enrichment strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.5 Second enrichment strategy : global nonsmooth functions and in- tegral matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.1 Test problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2 Convergence curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3 Condition number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4 Calcul de Facteurs d’Intensité de Contrainte (FIC) 91 1 Méthodes de calcul uploads/Geographie/ xfem-pdf.pdf