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ANALYSE COMBINATOIRE Introduction L’analyse combinatoire est l’étude mathématiq

ANALYSE COMBINATOIRE Introduction L’analyse combinatoire est l’étude mathématique de la manière de ranger des objets. L’analyse combinatoire est un outil utilisé dans le calcul des probabilités. L’analyse combinatoire a pour but l’étude des différentes dispositions que l’on peut former à partir d’un ensemble d’éléments. On distingue trois types de dispositions : Arrangement Combinaison Permutation Factorielle, n Soit n un entier naturel non nul (n ∈ N), on définit n!=1×2×2×…×n qui se lit “factorielle n”. Exemple : 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Par convention, on pose 0!=1 1°) Arrangement 1-1: Arrangements avec répétitions On appelle arrangements sans répétitions de p éléments distincts pris dans un ensemble de n éléments distincts (n≥p), les différentes façons d’ordonner ces p éléments distincts. Le nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est : An p= n! (n−p)! Remarque 1. Pour p = n, on retrouve le cas de la permutation sans répétition : An n= n! (n−n)!=n! Exemple 1 : On tire 2 boules numérotées prises parmi 3, sans remise : il y a A3 2= 3! (3−2)! =3! 1! =3×2×1! 1! =6 Exemple 2 : De combien de manières peut-on placer 3 dossiers différents dans 15 casiers vides à raison d’un dossier par casier. Réponse : A15 3 = 15! (15−3)! =15×14×13×12! 12! =15×14×13=2730 Arrangements avec répétitions • Le nombre d’arrangements avec répétitions de p éléments non-distincts parmi n éléments distincts est égal à n p. Exemple 3 : 2°) Combinaison On appelle combinaison de p éléments pris parmi les n éléments, tout ensemble que l’on peut former en choisissant p de ces éléments sans tenir compte de l’ordre. Dans une combinaison, on ne tient pas compte de l’ordre. Cn p= n! p!(n−p)! Exemple 1 : Vingt chevaux numérotés de 1 ; 2 ; 3…. ;20 participent à une course. Combien de quartés peut-on former dans le désordre. Réponse : C20 4 = 20! 4!(20−4)! = 20! 4!16!=20×19×18×17×16! 4!16! =20×19×18×17 4×3×2×1 =4845⟹C20 4 =4845 Exemple 2 : Une entreprise veut engager 4 ingénieurs dans quatre spécialités différentes. Six ingénieurs se présentent. Combien de choix s’offre en embauche dans les trois cas : 1. Les six ingénieurs sont polyvalents. 2. Un seul est polyvalent pour les quatre branches et cinq ne le sont pas. 3. Parmi les six ingénieurs se trouvent trois hommes et trois femmes tous polyvalents l’équipe recherchée doit avoir deux filles et deux hommes. Réponse : 1. Parmi les six ingénieurs C6 4= 6! 4 !(6−4)! = 6! 4!2!=6×5×4! 4!2! =30 2 =15⇒C6 4=15 2. Un polyvalent 1×C5 3= 5! 3!(5−3)! = 5! 3!2!=5×4×3! 3!2! = 20 2×1=10 3. Parmi les six ingénieurs se trouvent trois hommes et trois C3 2×C3 2= 3! 2!(3−2)! × 3! 2!(3−2)!= 3! 2!1! × 3! 2!1!=3×2! 2!1! × 3×2! 2!1! =3×3=9 3°) Permutations Permutations (sans répétition) Une permutation sans répétition est un classement ordonnée de n objets distincts. 1) Définition On appelle permutation, toute suite ordonnée de n éléments. Le nombre de permutation est : Pn=n× (n−1 )×(n−2)…×2×1=n! Exemple 1 : Le nombre de permutations des lettres du mot GYMNASE est P=7 !=7×6×5×4×3×2×1=5040 Exemple 2 : De combien de manières différentes 11 élèves peuvent-ils former une équipe de football, si l’on indique la place que doit occuper chaque joueur? P=11! Permutations avec répétition P= n! n1!n2!n3!…np! Exemple 1 : Combien de mots différents peut-on former à partir des lettres A;B; B;C;A;D;B ? Il y a P7,2,3= 7! 2!×3! =¿420 mots possibles. Exemple : Déterminer le nombre d’anagrammes du mot MATHEMATIQUES Résumé Avec ordre (Arrangements) Sans ordre (Combinaisons) Permutation Sans répétitions An p= n! (n−p)! Cn p= n! p!(n−p)! P=n! Avec répétitions n p Cn+p−1 p =(n+p−1)! p!(n−p)! P= n! n1!n2!n3!…np! Exercice 1 : Déterminer le nombre d’anagrammes du mot MATHEMATIQUES. Exercice 2 : Une agence de voyage veut organiser des circuits touristiques comprenant dans un ordre donné les six villes suivantes A, B, C, D, E, F pour définir un circuit on suppose que chaque ville n’est visitée qu’une seule fois et on tient compte de l’ordre de visite de ces villes. a) Combien y a-t-il de circuits possibles. b) Cette agence propose des excursions permettent de visiter deux villes parmi les six villes citée. Les excursions du type A-D et D-A sont pour des raisons financières, considérées comme des excursions différentes. c) En définitives, l’agence pour la visite de deux villes déterminées ne retient qu’une seule excursion (par exemple A-B ou B-A), combien dans ces conditions propose telle d’excursions ? Exercice 3 : Le traitement d’un malade nécessite la prise de 2 sirops différents et de 3 sortes de cachets. Le médecin dispose de 3 sirops et 4 sortes de cachets qui auraient des effets analogues. De combien de façons différentes pourra-t-il rédiger son ordonnance ? Sachant toutes fois, qu’un sirop précis ne doit pas être en même temps qu’une sorte de cachet précis. Exercice 4: Dans une entreprise, deux postes de travail qui possèdent des caractéristiques identiques, sont à pouvoir et font l’objet d’une offre d’emploi. 1) Six candidats se présentent. Quel est le nombre N1 de sélections différentes que pourra opérer le chef du personnel. 2) Les six candidats se répartissent en quatre hommes et deux femmes. Quel est le nombre N2 de possibilités correspondant à l’embauchage d’un homme et une femme pour les deux postes. 3) Répondez à nouveau aux deux premières questions en sachant que les deux postes de travail A et B, bien qu’exigeant des qualifications analogues, sont maintenant distincts. Exercice 5 : Le personnel d’un hôpital est réparti en trois catégorie : les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique). 12% sont des médecins et 71% sont des soignants. 67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes. On sait de plus que 80% du personnel de l’hôpital est féminin. Un membre du personnel de cet hôpital est tiré au sort. a) Quelle est la probabilité que le sort désigne une femme soignante ? b) Un homme a été désigné. Quelle est la probabilité qu’il soit médecin ? c) Quelle est la probabilité que la personne désignée soit une femme sachant qu’elle fait partie du personnel AT ? Dans cet hôpital, le service d’urgence reçoit en moyenne 60 personnes par jour dont 30% doivent être hospitalisés. Les autres rentrent chez elles après la consultation d’un médecin. Parmi les malades hospitalisés on constate qu’en moyenne 12 doivent subir une radiographie, 8 une perfusion et 5 ne subissent ni radiographies, ni perfusion. d) Quelle est la probabilité qu’un malade hospitalisé subisse une perfusion et une radiographie ? Exercice 6 : Evariste va faire un tour au "Luna Park" et décide de s’amuser au stand de tir. A jeun il touche la cible avec une probabilité de 0.8 mais, à chaque bière qu’il boit cette probabilité chute de moitié. En supposant qu’il commence à jeun et qu’il boit une bière après chaque tir : a) Quelle est la probabilité qu’il touche la cible trois fois de suite. b) Quelle est la probabilité qu’il touche la cible au moins une fois en trois tirs ? c) Quelle est la probabilité d’avoir raté son premier tir sachant qu’il a raté son troisième tir ? d) Quel est le nombre minimal de tirs qu’il devra effectuer s’il veut être sûr, avec une probabilité supérieure à 0.92, de toucher au moins une fois la cible ? Exercice 6 Une fabrique de webcams teste la qualité de ses caméras avant de les envoyer dans les différents points de vente. On prélève au hasard une caméra dans un lot de 50. Si la caméra est défectueuse, on renvoie les 50 caméras à l’atelier pour les vérifier. Si la webcam fonctionne, on en choisit une deuxième au hasard. Si elle est défectueuse, on renvoie le lot des 50 caméras à l’atelier. Sinon, on en choisit une troisième au hasard. Si elle est défectueuse, on renvoie le lot de 50 à vérifier. Dans le cas contraire, le lot a réussi le test et est envoyé dans les points de vente. Supposons que dans un lot de caméras 2 sont défectueuses. a) Quelle est la probabilité que le lot soit renvoyé à l’atelier lors du premier contrôle ? b) Quelle est la probabilité que le lot soit renvoyé à l’atelier lors du deuxième contrôle? c) Quelle est la probabilité que le lot soit renvoyé à l’atelier ? d) Que devient cette probabilité si l’on remet la caméra testée dans le lot avant d’effectuer le test suivant ? Exercice Un carton contient 12 verres dont 4 sont défectueux. On sort du carton, au hasard, 3 verres. Calculer la probabilité pour que ces 3 verres ne soient pas défectueux ? Exercice Une urne contient 10 boules rouges et 4 bleues. On tire successivement et sans remise 2 boules de l’urne. Calculer la probabilité des événements suivants : a) les deux boules tirées sont rouges ; b) la première boule est rouge et la seconde bleue ; c) les deux boules sont de couleurs uploads/Geographie/ analyse-combinatoire-1.pdf