Les états de mer naturels 07 - Représentation spectrale des états de mer Jean B

Les états de mer naturels 07 - Représentation spectrale des états de mer Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 07 - 1 / 14 7. Représentation spectrale des états de mer 7.1. Description spectrale des états de mer Comme cela a déjà été dit, il faut distinguer la mer du vent, due à l'action locale du vent, de la houle. La mer du vent résulte de la combinaison des vagues qui se propagent dans l'ensemble de la zone d'action du vent avec les vagues créées localement. La houle résulte de la propagation des vagues depuis une zone de génération, à travers des zones ou l'action du vent est limitée. Chacun de ces états de mer est caractérisé par une répartition des vagues en hauteur, période et direction. L'analyse de Fourier est donc l'outil naturel de traitement du signal aléatoire multidirectionnel, tel qu'apparaît l'être, à un instant donné, la surface de la mer. Cette approche conduit à superposer des ondes sinusoïdales et à en déduire une répartition de l'énergie en fréquence et en direction, le vecteur d'onde et la pulsation étant liés par la relation de dispersion. Il convient de noter que la représentation spectrale de la houle possède des limites qui correspondent globalement au sixième degré de l'échelle de Douglas (5 - 6 mètres de crête à creux). Par ailleurs, il faut garder présent à l'esprit que les périodes caractéristiques des conditions de fonctionnement normales d'une zone portuaire sont comprises entre 4 et 6 secondes, que les houles longues provenant de l'Atlantique ont des périodes de l'ordre de 20 secondes, tandis que les tempêtes dimensionnantes pour les ports de la Manche, de l'Atlantique et de la Méditerranée ont une période caractéristique comprise entre 8 et 18 secondes. Enfin, le découpage des états de mer naturels en états de mer simples ne permet pas de recouvrir l'ensemble des observations. En effet, de nombreux états de mer correspondent d'une part à des superpositions de mer du vent et de houle, généralement de directions différentes, et d'autre part, à la suite d'évolution des conditions météorologiques, à des superpositions d'états de mer du vent de directions différentes, l'un des états étant en train de s'amortir alors que l'autre est en cours de génération. 7.2 Le spectre d’énergie de l'état de mer 7.2.1. Principe de l'Analyse harmonique L'analyse harmonique d'un signal consiste à identifier et à traiter son contenu fréquentiel. D'après les résultats de l'analyse de Fourier, une fonction périodique f(t) de période T et de pulsation ω peut se développer sous la forme d’une série de fonctions sinusoïdales : Les états de mer naturels 07 - Représentation spectrale des états de mer Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 07 - 2 / 14 (7.1) f t c in t n n ( ) exp( ) = ℜ −       = ∞  ω 0 avec c T f t in t dt n T = −  1 0 ( )exp( ) ω L'ensemble des modules des coefficients cn constitue le spectre de Fourier encore appelé spectre de raies ou spectre discret. Dans le cas d'une fonction non périodique mais de carré intégrable, la théorie de l'analyse harmonique conduit à utiliser un spectre continu, ce qui revient à faire tendre la période vers l'infini : (7.2) S f t i t dt ( ) ( ) exp( ) ω π ω = − −∞ +∞  1 2 Il n'est cependant pas possible d'analyser par cette méthode un signal non périodique qui ne s'annulerait pas à l'infini, ce qui est le cas d'un signal de houle ! Il faut alors recourir à la notion de spectre d'énergie qui est fondée sur la théorie des fonctions aléatoires, et s'intéresser à la fonction d'autocorrélation du signal. 7.2.2. Principe de l'analyse des fonctions aléatoires 7.2.2.1. Fonction d’autocorrélation La fonction d’autocorrélation d’une fonction aléatoire f(t) est définie par l’expression : (7.3) R E f t f t f t f t T T f t f t dt T T ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) lim ( ) ( ) τ τ τ τ = + = + = →∞ + − +  1 2 La fonction d'autocorrélation d'un phénomène périodique est périodique de même période. La fonction d'autocorrélation d'une fonction presque périodique (processus à bande étroite) fait apparaître la période dominante et s’annule à l'infini. Il sera admis que si f(t) n'offre pas de composante périodique, alors R(τ) est absolument intégrable. 7.2.2.2. Densité spectrale En vertu de ce qui précède, plutôt que d'analyser le contenu fréquentiel du signal f(t), il est plus fructueux d'analyser celui de la fonction d'autocorrélation R(τ). La densité spectrale du signal est définie comme la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation : Les états de mer naturels 07 - Représentation spectrale des états de mer Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 07 - 3 / 14 (7.4) S R i d R i d R S i d S i d ( ) ( )exp( ) ( )exp( ) ( ) ( )exp( ) ( )exp( ) ω π τ ωτ τ π τ ωτ τ τ ω ωτ ω ω ωτ ω = − = ℜ −       = + = ℜ +       −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ +∞     1 2 2 1 2 2 0 0 Le processus étant stationnaire, R(τ) est une fonction paire continue en zéro. La densité spectrale S(ω) est donc une fonction réelle paire, avec : (7.5) m E f t R S d S d 0 2 0 0 2 = = = = −∞ +∞ +∞   ( ( )) ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω Dans ces conditions, la moyenne quadratique du processus aléatoire est l'aire limitée par l'axe ω et la courbe S(ω). 7.2.3. Application aux états de mer En considérant, comme fonction f(t), la dénivelée de la surface libre η(t), la transformée de Fourier S(ω) de la fonction d’autocorrélation R(τ) a la dimension du produit du carré d'une longueur par un temps. Sa dimension est donc le quotient par ρg d'une densité surfacique d'énergie. Il est donc d'usage de réaliser le changement de variable suivant : (7.6) φηη(ω)=2S(ω) et d'appeler fonction densité spectrale d'énergie de l'état de mer la nouvelle fonction ainsi définie sur l'intervalle réduit [0,∞]. Son moment d'ordre zéro est celui du processus aléatoire qui gouverne la variable η(t) : (7.7) R m d ( ) ( ) 0 0 0 = = ∞  φ ω ω ηη D'après l'étude des ondes simples du premier ordre (houle d'Airy ou Stokes premier ordre), l'énergie moyenne par unité de surface (potentielle et cinétique) que véhicule une onde de gravité monochromatique d'amplitude ai (hauteur crête à creux Hi=2ai) s'écrit : (7.8) e ga gH i i i = = 1 2 1 8 2 2 ρ ρ Elle ne dépend, au premier ordre, que de l'amplitude de l'onde, et pas de sa période. L'énergie d'une superposition de N houles simples étant égale à la somme de leurs énergies, il résulte de (7.8) que l'énergie totale d'une houle complexe s'écrit : (7.9) e ga gE t gR g d i i N = = = = = ∞   1 2 0 2 1 2 0 ρ ρ η ρ ρ φ ω ω ηη [ ( )] ( ) ( ) Les états de mer naturels 07 - Représentation spectrale des états de mer Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 07 - 4 / 14 Par abus de langage, la fonction φηη(ω) est directement appelée spectre d'énergie de l'état de mer. φηη(ω) et R(τ) sont deux fonctions certaines qui suffisent chacune, à elle seule, à caractériser un état de mer donné. 7.3. Les différents types de spectres On appelle couramment spectre de houle multidirectionnelle la fonction densité spectrale Φηη(ω,ϑ) qui est la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation de la dénivelée de la surface libre η(t). Il est fonction de la pulsation ω et de l'incidence ϑ. Ce spectre est classiquement mis sous une forme à variables séparées : (7.10) Φηη ηη ω ϑ φ ω ϑ ( , ) ( ) ( ) = M expression dans laquelle φηη(ω) représente le spectre de houle monodirectionnelle et M(ϑ) la fonction de directivité de la houle ; elle vérifie évidemment la relation : (7.11) M d ( ) ϑ ϑ π π − +  = 1 Les variables ω et ϑ étant séparées, l'étude des spectres de houle en fonction de la fréquence se réduit à des spectres monodirectionnels. 7.3.1. Les spectres monodirectionnels Les spectres de houle monodirectionnelle les plus utilisés sont celui de Pierson-Moskowitz, et le spectre "Joint North Sea Wave Project" (JONSWAP). 7.3.1.1. Le spectre de Bretschneider Ce spectre à deux paramètres a été proposé en 1959 par Bretschneider pour décrire les états de mer partiellement ou uploads/Geographie/ analyse-spectrale-des-vague.pdf

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