Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 15 décembre 2014 Devoir surveillé no 5 (4

Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 15 décembre 2014 Devoir surveillé no 5 (4 heures) Ce devoir est constitué d'un problème et de quatre exercices. L'ordre des exercices ne correspond à aucun critère de di culté ou de longueur : vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous voulez. Veillez à soigner la copie tant pour l'écriture, la propreté que pour la rédaction, la rigueur et l'argumentation. La calculatrice est interdite. Vous numéroterez vos copies et ferez apparaître clairement sur la première page le nombre de copies. Probleme Partie I : Etude de la fonction réciproque de la fonction th. On notera respectivement ch, sh et th les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique dé nies par : ∀x ∈R, ch(x) = ex + e−x 2 , sh(x) = ex −e−x 2 et th(x) = sh(x) ch(x) = ex −e−x ex + e−x. 1. Montrer, en étudiant ses variations, que th est une bijection de R sur un intervalle I de R à préciser. On note argth la fonction argument tangente hyperbolique sa réciproque. 2. Exprimer la dérivée de th en fonction de th. 3. Démontrer que argth est impaire. 4. Démontrer que argth est dérivable sur I et calculer sa dérivée. 5. Exprimer argth à l'aide de fonctions usuelles. Partie II : Etude d'une équation fonctionnelle Le but de cette partie est de résoudre le problème suivant : déterminer les fonctions f dé nies sur R, à valeurs réelles et dérivables en 0 qui véri ent : ∀x ∈R, f(2x) = 2f(x) 1 + (f(x))2 1. Déterminer les fonctions constantes solutions du problème posé. 2. Déterminer les valeurs possibles de f(0) si f est solution. 3. Montrer que, si f est solution, on a ∀x ∈R, −1 ⩽f(x) ⩽1. (exprimer f(x) en fonction de f x 2  .) 4. Montrer que si f est solution, −f est aussi solution. 5. Montrer que th est solution du problème posé. Dans les questions 5. à 9., on suppose que f est une solution du problème posé, que f(0) = 1 et que f n'est pas constante. On considère x0 ∈R, tel que f(x0) ̸= f(0) et l'on dé nit la suite (un)n∈N par : ∀n ∈N, un = f x0 2n  . 6. Montrer que la suite (un)n∈N est convergente et préciser sa limite. 7. Etablir une relation entre un et un+1 ; en déduire que la suite (un)n∈N garde un signe constant, puis étudier sa monotonie suivant le signe de u0. 8. En utilisant les résultats des questions 5. et 6., aboutir à une contradiction. 9. Que peut-on dire si l'hypothèse  f(0) = 1  est remplacée par l'hypothèse  f(0) = −1  ? 1 Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 15 décembre 2014 10. Conclusion ? Dans les questions 11. à 14., on suppose que f est une solution du problème posé et que f(0) = 0. 11. En raisonnant par l'absurde et en considérant une suite du même type que celle des questions 6. à 10., montrer que : ∀x ∈R, f(x) ̸= −1 et f(x) ̸= −1. On dé nit alors la fonction g par : ∀x ∈R, g(x) = argth(f(x)). 12. Montrer que : ∀x ∈R, g(2x) = 2 g(x). 13. Montrer que g est dérivable en zéro. 14. Soit x ∈R∗; on dé nit la suite (vn)n∈N par : ∀n ∈N, vn = f  x 2n  x 2n . Montrer que (vn)n∈N est convergente et déterminer sa limite. 15. En déduire que g est linéaire. 16. Déterminer toutes les fonctions solutions du problème posé. Exercice I : Dérivée nième 1. Famille de polynômes On dé nit, pour tout entier naturel n non nul, le polynôme Pn par : ∀t ∈R, P1(t) = 2 et ∀n ∈N, ∀t ∈R, Pn+1(t) = t3 P ′ n(t) + (2 −3 n t2) Pn(t) (a) Calculer P2, P3 et P4 (b) Montrer que : ∀n ∈N∗, Pn(0) = 2n. Montrer que, pour n ⩾1, Pn est un polynôme de degré (2n −2) et que le coe cient de son terme de plus haut degré vaut (−1)n+1 (n + 1)! 2. Etude d'une fonction On considère la fonction f dé nie par : ( f(x) = e− 1 x2 si x ̸= 0 f(0) = 0 (a) Montrer que f est continue en 0. (b) Calculer f ′(x) pour x ∈R∗puis dresser le tableau de variations de f en indiquant ses limites aux bornes du domaine (c) Montrer que f est dérivable en 0 et que f ′ est continue en 0. (d) Véri er que : ∀x ∈R∗, f ′′(x) = P2(x) x6 e− 1 x2 (e) Montrer que : ∀n ∈N∗, ∀x ∈R∗, f (n)(x) = Pn(x) x3n e− 1 x2 (f) En déduire les limites de f (n) en ±∞ (g) Déterminer la limite de f (n) en 0 (h) En déduire que f est de classe C ∞sur R (i) Déterminer une équation diérentielle linéaire homogène du premier ordre à coe cients poly- nomiaux satisfaites par f (j) En utilisant la formule de Leibniz, en déduire une relation liant f (n+1), f (n), f (n−1) et f (n−2) pour n ⩾3. (k) En déduire une relation de récurrence liant Pn+1, Pn, Pn−1 et Pn−2 pour n ⩾3. 2 Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 15 décembre 2014 Exercice II : Etude d'une fonction et d'une suite On considère la fonction f dé nie sur [0, +∞[ par ( f(x) = x e−1 x + 1 2 si x > 0 f(0) = 1 2 On notera Cf la courbe représentant f. Partie I : Etude de la fonction f 1. (a) Etudier la limite de f en +∞. (b) Montrer que Cf possède une asymptote en +∞ 2. Montrer que f est continue en 0, puis que f est continue sur [0, +∞[. 3. (a) Montrer que f est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer f ′(x) sur cet intervalle. (b) Montrer que f est dérivable en 0, puis que f est de classe C 1 sur [0, +∞[ (c) Montrer qu'il existe un k à déterminer tel que f soit k-lipschitzienne sur [0, +∞[. (d) Etudier les variations de f sur [0, +∞[ et dresser le tableau de variation de f (e) Tracer l'allure de la courbe Cf. Partie II : Etude d'une suite dé nie de manière implicite 1. Soit n ∈N∗. Justi er que l'équation f(x) = n+1 2 n d'inconnue x, admet une solution unique dans [0, +∞[. On notera xn cette solution 2. Donner f (x1) , f (x2) , f (x3) et construire x1, x2 et x3 dans le graphe précédent. 3. Etudier le signe de f (xn+1) −f (xn) et en déduire la monotonie de la suite (xn)n∈N∗ 4. Montrer que la suite (xn)n∈N∗converge et déterminer sa limite Partie III : Etude d'une suite récurrente On considère la suite (un)n∈N dé nie par u0 = 1 3 et la relation de récurrence : ∀n ∈N, un+1 = f (un) 1. Soit la fonction h dé nie sur [0, 1] par h(x) = f(x) −x. Calculer h′ sur [0, 1] et h′′ sur ]0, 1]. En déduire les variations de h′ puis celles de h. 2. Montrer : ∃!α ∈[0, 1] f(α) = α. 3. Ecrire un programme Python permettant d'obtenir une valeur approchée de α à 10−2 près. 4. Montrer que la suite (un)n∈N est bien dé nie et que l'on a : ∀n ∈N, un ∈[0, 1]. 5. En utilisant l'inégalité des accroissements nis, montrer que : ∀n ∈N, |un+1 −α| ⩽2 e |un −α| 6. Montrer alors que la suite (un)n∈N converge vers α 3 Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 15 décembre 2014 NOM PRENOM Feuille à rendre avec le devoir axe x axe y −1 0 1 2 3 4 −2 −1 0 1 2 3 4 uploads/Geographie/ ds05-fonctionscontinues-fonctionsderivables.pdf

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