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MÉMOIRE présenté par Mihai GRADINARU en vue d’obtenir le diplôme d’HABILITATION

MÉMOIRE présenté par Mihai GRADINARU en vue d’obtenir le diplôme d’HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES Spécialité : Mathématiques Appliquées Sujet : Applications du calcul stochastique à l’étude de certains processus soutenu le 7 décembre 2005 à l’Institut de Mathématiques Élie Cartan devant le jury composé de : Gérard Ben Arous École Polytechnique Fédérale de Lausanne Michel Emery Université Louis Pasteur, Strasbourg Michel Ledoux Université Paul Sabatier, Toulouse Rapporteur David Nualart University of Kansas, Lawrence Rapporteur Bernard Roynette Université Henri Poincaré, Nancy Zhan Shi Université Pierre et Marie Curie, Paris Rapporteur Marc Yor Université Pierre et Marie Curie, Paris Président du jury DFD Mathématiques - École Doctorale IAEM Lorraine - UFR STMIA ` a D or , Remerciements L’habileté à formuler les remerciements caractérise le spécialiste de haut vol. [...] Toute recherche sans dette est une recherche suspecte [...]. 1 (Umberto Eco) C’est un réel plaisir pour moi d’écrire ces lignes par lesquelles je tiens à remercier les nombreuses personnes qui ont contribué, de diverses manières, à ce travail. Il m’est particulièrement agréable d’exprimer ma profonde gratitude à Bernard Roynette pour les ques- tions de mathématiques qu’il m’a posées toutes ces années, pour son enthousiasme et son intuition remar- quables dont il sait me faire proﬁter, pour son “Alors, on termine ça !” lors des séances de mathématiques ou de course à pied, pour ses conseils et ses encouragements quasi-permanents, pour sa conﬁance en moi, pour sa générosité, mais surtout pour son amitié. J’ai pu réaliser ce travail, en grande partie, grâce à lui. Mes premiers pas dans la recherche ont été guidés par Gérard Ben Arous, mon directeur de thèse de doctorat. Je suis très content d’avoir été son élève. Son sens mathématique très aigu et ses conseils sont tou- jours présents dans mon esprit. Malgré l’éloignement, les messages réguliers témoignent du regard attentif qu’il a toujours porté sur mon travail. Je suis particulièrement heureux qu’il fasse partie de ce jury. Michel Ledoux connaît bien mon travail mathématique depuis le début de ma thèse de doctorat. Son chaleureux intérêt s’est manifesté à chacune de nos rencontres, lors de diverses occasions. Je le remercie vivement pour la gentillesse avec laquelle il a accepté d’être rapporteur de ma thèse d’habilitation et de participer au jury. Je tiens à remercier David Nualart pour l’intérêt qu’il a porté à cette thèse d’habilitation en acceptant d’en être rapporteur. Les échanges réguliers de travaux mathématiques que nous avons eus m’ont beaucoup stimulé. Je remercie également Zhan Shi qui a eu l’amabilité d’analyser mon travail, de rédiger un rapport sur cette thèse, ainsi que d’accepter de faire partie du jury. Collaborer avec Marc Yor fut pour moi une expérience extraordinaire. J’ai appris énormément et je reste encore fasciné par l’énergie avec laquelle il a entraîné notre travail : en eﬀet, les questions et, souvent, les réponses se succédaient dans ses fax quasi-journaliers. Je le remercie de me faire l’honneur de participer à ce jury. Michel Emery me connaît pratiquement depuis mon arrivée à Nancy par le biais des Journées Strasbourg- Nancy-Évry. Ses remarques et ses questions, lors de mes premiers exposés sur les sujets de cette thèse ont ouvert, sans doute plus d’une fois, des directions inexplorées. Avec sa gentillesse caractéristique il a accepté d’être présent dans ce jury et je lui en sais gré. Je suis spécialement reconnaissant à Pierre Vallois avec lequel j’ai collaboré à maintes reprises, en recherche, pour l’enseignement, mais aussi en dehors du cadre professionnel. J’ai pris exemple de son inventivité, de sa rigueur, de sa force de travail et de ses “petits calculs”. Son aide et ses conseils ont été (et seront) toujours très précieux. Bien que rarement, faire du VTT ensemble fut une belle expérience. 1“Comment voyager avec un saumon : nouveaux pastiches et postiches”, Éditions Grasset 1998. v Mes remerciements s’adressent aussi à Francesco Russo. J’ai eu la chance de collaborer avec lui et j’en garde un excellent souvenir. Avec Pierre Vallois, il m’a initié au calcul stochastique généralisé. Tra- vailler avec lui fut (et j’espère sera) très enrichissant et très agréable. Je le remercie aussi pour les longues conversations que nous avons eues, ainsi que pour les conseils qu’il m’a prodigués plus d’une fois. Merci à Samy Tindel pour le dynamisme avec lequel il me fait partager son ambition mathématique et son aisance à faire face à des diﬃcultés imprévues : notre collaboration est stimulante, fructueuse et amicale. Samuel Herrmann et Ivan Nourdin ont été mes étudiants : ils sont devenus mes pairs, mes proches collaborateurs et surtout mes amis. Une grande partie de cette thèse est basée sur des travaux communs, fruits de longues séances de réﬂexion et calculs. Travailler avec eux est un vrai partage de connaissances, d’idées, d’égarements quelquefois. J’espère que cela continuera. Merci à Samuel pour son calme olympien et merci à Ivan pour sa bonne humeur. Je les remercie pour ce que j’apprends d’eux maintenant, à mon tour. Merci également à Madalina Deaconu et à Jean-Rodolphe Roche pour la collaboration que nous avons eue au tout début de mon arrivée à Nancy. Merci à Madalina pour avoir partagé des séances de travail sur des questions du projet Omega. J’en proﬁte pour souligner le support essentiel et permanent que j’ai eu par le biais de ce projet. Mes remerciements vont ensuite à Francis Hirsch pour m’avoir accueilli dans l’équipe d’Évry durant deux ans et de m’avoir soutenu chaleureusement. Rémi Léandre m’a constamment encouragé et soutenu après mon arrivée à Nancy : je le remercie sincèrement. Je voudrais remercier chaleureusement les respon- sables de l’Institut Élie Cartan, Daniel Barlet, Lionel Bérard-Bergery, Jean-Claude Fort et Antoine Henrot, pour m’avoir permis de travailler dans d’excellentes conditions. Je remercie sincèrement tous les collègues de Nancy et particulièrement ceux de l’équipe de Probabilités. J’adresse un vif remerciement à Didier Gem- merlé qui m’a amicalement poussé à soutenir cette habilitation, pour ses remarques concernant la rédaction, pour ses formidables réponses à toute question informatique et autres, et pour ses encouragements. Je re- mercie Patricia Georges et Chantal Lecomte pour leur patience et leur gentillesse lors de mes innombrables passages dans leurs bureaux avec plein de questions. Merci aussi à Hélène Zganic pour son support construc- tif et eﬃcace. Merci à Nathalie Piérache et Raymonde Michel pour leur aide permanente mais aussi, depuis peu, pour leur collaboration en tout ce qui concerne la bibliothèque. Je remercie André Stef pour son amitié et son soutien constant et appuyé. Je ne pourrais pas citer ici tous mes amis. Toutefois, j’ai une pensée toute particulière pour Colette, Denis et Fanny. Enﬁn, à tous ceux et celles que j’oublie, merci. Merci à mon père de m’avoir donné l’éducation, l’amour et mes premières leçons de mathématiques. Merci à ma famille pour m’avoir soutenu avec beaucoup d’aﬀection. C’est à Dorina que je dois tout : sa joie de vivre, sa conﬁance en moi, son soutien permanent et son amour m’ont permis d’avancer dans la vie jusqu’à maintenant et je l’espère, pour toujours. vi Préface Mathematics is not a deductive science – that’s a cliché. When you try to prove a theorem, you don’t just list the hypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork. 1 (Paul R. Halmos) Mon activité de recherche concerne le calcul stochastique en général et se concentre en particulier sur la caractérisation et le comportement des trajectoires des processus stochastiques. Depuis la ﬁn de mon DEA, cette activité de recherche a été menée d’une part dans l’équipe de Modélisation Stochastique et Statistique d’Orsay, Université de Paris-Sud, durant ma thèse (1991-1995), et d’autre part à l’Institut Élie Cartan de Nancy, Université Henri Poincaré (depuis 1996). Mes travaux de recherche sont l’objet de diverses collabo- rations et ont donné lieu à des publications dans divers journaux (voir la liste à la ﬁn de cette introduction). Les travaux [6]2, [7] et [9,10] font aussi partie des thèses, respectivement, de Madalina Deaconu, Samuel Herrmann et Ivan Nourdin. Pendant la thèse je me suis intéressé à deux problèmes proposés par Gérard Ben Arous. Le premier problème concerne la description précise de la singularité près de la diagonale de la fonction de Green associée à un opérateur hypoelliptique (sous l’hypothèse de Hörmander forte et avec une géométrie des crochets de Lie localement constante). La fonction de Green G est la densité de la mesure d’occupation de la diﬀusion associée et l’étude est basée sur une analyse ﬁne des trajectoires de cette diﬀusion. Nous montrons que la limite limy→x G(x, y)|y|Q(x)−2 x n’existe pas, où | · |x est une norme localement homogène adaptée à la géométrie des crochets de Lie et Q(x) est la dimension graduée en x. Il s’agit d’un comportement diﬀérent par rapport à la situation elliptique, à celle du groupe d’Heisenberg plat ou à la situation du groupe d’Heisenberg “non-plat”3. La limite ci-dessus existe seulement de façon radiale et ce comportement est décrit à l’aide d’un processus non-markovien qui est la projection d’une diﬀusion invariante sur un groupe de Lie nilpotent. L’étude repose sur des résultats de développement de uploads/Geographie/ applications-du-calcul-stochastique-a-l-x27-actude-de-certains-processus.pdf