GUIDE DU CALCUL AVEC LES LOGICIELS LIBRES XCAS, Scilab, Bc, Gp, GnuPlot, Maxima

GUIDE DU CALCUL AVEC LES LOGICIELS LIBRES XCAS, Scilab, Bc, Gp, GnuPlot, Maxima, MuPAD GUIDE DU CALCUL AVEC LES LOGICIELS LIBRES XCAS, Scilab, Bc, Gp, GnuPlot, Maxima, MuPAD Guillaume Connan Professeur agrégé de mathématiques au lycée Jean Perrin (Rezé) Stéphane Grognet Maître de conférences à l’Université de Nantes et directeur de l’IREM des Pays de la Loire Illustration de couverture : Digital vision © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053934-5 Table des matières INTRODUCTION 1 1 Généralités 1 a. Public visé 1 b. Organisation 1 2 Pourquoi des logiciels libres ? 2 3 Liste des logiciels abordés 2 4 Vive le calcul ! 3 Partie I INTERFACE 5 CHAPITRE 1 : AIDE 7 1.1 Installer les logiciels 7 1.2 Obtenir de l’aide 7 a. Aide en ligne de commande 7 b. Aide en ligne locale 8 c. Aide en ligne par internet 8 d. Documentation internet 8 1.3 Promenade avec bc 8 1.4 Promenade avec XCAS 9 CHAPITRE 2 : COMMUNICATION 13 2.1 Communiquer avec un logiciel de calcul 13 a. Écriture des nombres 13 b. Saisie des instructions au clavier 13 c. Mise en forme des résultats au format instruction 14 2.2 Obtenir des sorties compatibles avec le logiciel de typographie L AT EX 15 a. L AT EX et les calculs avec XCAS 15 b. L AT EX et les sorties graphiques de XCAS 18 c. L AT EX et GnuPlot 20 d. Combiner Bc, GnuPlot et L AT EX 23 2.3 Utiliser des logiciels de calcul avec TeXmacs 26 2.4 Utiliser les logiciels de calcul en mode texte sous Emacs 27 2.5 Faire communiquer deux logiciels de calcul 29     a. Le copier-coller à la souris 29 b. Communication via des fichiers 29 c. Appel à l’interpréteur de commandes du système (shell) 29 d. Un bon outil : la gestion des chaînes de caractères 30 2.6 Programmation interactive 30 CHAPITRE 3 : LA PROGRAMMATION 31 3.1 Avec XCAS 31 a. Les procédures 31 b. for 32 c. while 33 d. if 33 e. Listes,ensembles et chaînes 33 f. Programmation en français 36 Pour 36 tantque 36 si 36 3.2 Avec MuPAD 37 a. Les procédures 37 b. for 38 c. while 39 d. if 39 e. Listes, ensembles et chaînes 39 3.3 Avec Scilab 41 Partie II CALCUL 43 CHAPITRE 4 : ARITHMÉTIQUE 45 4.1 Calcul en précision arbitraire 45 a. Avec Bc 45 b. Avec XCAS 46 c. Avec Maxima 46 d. Avec gp 46 e. Avec Yacas 46 4.2 Erreurs d’arrondi avec GnuPlot 47 4.3 Changement de base avec Bc 48 4.4 Congruences 49 4.5 Nombres premiers 50 a. Théorème des nombres premiers 50 b. La fonction Li :x → x 2 1 lnt dt et les nombres premiers 52 4.6 Nombres p-adiques 53 CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS 55 5.1 Avec XCAS 55 vi     5.2 Avec MuPAD 58 CHAPITRE 6 : POLYNÔMES 61 6.1 Avec Scilab 61 6.2 Avec Maxima 62 6.3 Avec XCAS 63 6.4 Avec Gp 64 6.5 Avec Yacas 65 CHAPITRE 7 : FONCTIONS 67 7.1 Avec Gp 67 7.2 Avec Maxima 67 7.3 Avec XCAS 68 a. Cas général 68 b. Définir des fonction non numériques : un exemple en géométrie en classe de Seconde 69 7.4 Avec Bc 72 7.5 Avec Scilab 72 a. Cas général 72 b. Évaluation en rafale 73 7.6 Avec Yacas 73 7.7 Avec Octave 74 CHAPITRE 8 : ALGÈBRE LINÉAIRE 75 8.1 Avec Scilab 75 a. Opérations élémentaires 75 b. Résolution d’un système d’équations linéaires 76 c. Réduction d’endomorphismes 76 8.2 Avec Octave 77 8.3 Avec Maxima 77 8.4 Avec XCAS, au gré d’activités diverses 78 a. Déterminer un projecteur 78 b. Puissances de matrices 79 c. Inverse de matrices 79 d. Trouver l’inverse d’une matrice avec la méthode de Gauss-Jordan 80 e. Chaînes de Markov 83 f. Chiffrement de Hill 86 Codage 87 Décodage 88 CHAPITRE 9 : GÉOMÉTRIE AFFINE 91 9.1 Avec Scilab 91 a. Équation de droite dans le plan 91 b. Équation de plan dans l’espace tridimensionnel 91 9.2 Avec XCAS 91 a. Propriétés géométriques 92 vii     Dans le plan 92 Dans l’espace 93 b. Une activité de 2nde 95 9.3 Avec GnuPlot 96 CHAPITRE 10 : STATISTIQUES 99 10.1 Des statistiques sans tableur... 99 a. Le problème du Duc de Toscane 99 Un peu de (petite) histoire 99 Simulation de l’expérience 99 Simulation à grande échelle 100 b. Lancers de dés 101 c. Un problème d’ivrogne 103 10.2 Générateurs aléatoires 105 10.3 Régression linéaire 105 10.4 Statistiques 105 10.5 Application 106 a. Loi uniforme 106 b. Loi normale 108 c. Pile ou face 109 d. Jeu de dés 110 CHAPITRE 11 : CALCUL DIFFÉRENTIEL 113 11.1 Premiers contacts 113 a. Avec Scilab 113 b. Avec Maxima 114 c. Avec XCAS 114 d. Avec Gp 116 e. Avec Yacas 116 11.2 Calcul différentiel multidimensionnel 116 11.3 Courbes 117 11.4 Surfaces 119 11.5 Étude métrique des surfaces 125 11.6 Extrema d’une fonction de R2 dans R avec XCAS 132 a. Extremum sous contrainte et multiplicateur de Lagrange 132 b. Condition nécessaire et suffisante d’existence d’un extremum 135 CHAPITRE 12 : INTÉGRATION 139 12.1 Primitives 139 a. Avec Yacas 139 b. Avec Maxima 139 c. Décomposition en éléments simples 140 d. Avec Scilab 142 e. Avec XCAS 143 f. Avec MuPAD 143 12.2 Changement de variable et intégration par parties 144 viii     a. Avec XCAS 144 Changement de variables 144 Intégration par parties 144 Intégrale de Wallis 145 b. Avec MuPAD 147 12.3 Calcul approché d’intégrales 148 a. Méthode des rectangles avec XCAS 148 b. Application au calcul d’une approximation de π avec XCAS 149 CHAPITRE 13 : DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 153 13.1 Avec Yacas 153 13.2 Avec Gp 153 13.3 Avec Maxima 154 13.4 Avec XCAS 154 a. Généralités 154 b. Visualisation de l’approximation d’une fonction par le polynôme de Taylor 155 CHAPITRE 14 : ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 157 14.1 Avec Scilab 157 a. Résolution d’une équation du premier ordre unidimensionnelle 157 b. Résolution d’une équation du premier ordre multidimensionnelle 157 c. Résolution d’une équation du deuxième ordre unidimensionnelle 160 d. Résolution d’une équation d’ordre et de dimension quelconques 161 14.2 Avec Octave 161 14.3 Avec XCAS 161 a. Résolution exacte 161 b. Résolution approchée 162 c. Méthode d’Euler : cas général 162 d. Méthode d’Euler et exponentielle : TP en Terminale S 163 Approximation affine 163 Subdivision 163 Tracé d’une ligne brisée 163 Tracé en boucle 164 Procédure 164 À vous de jouer 165 Estimation de l’erreur 165 14.4 Résolution exacte avec Maxima 166 14.5 Avec MuPAD 167 CHAPITRE 15 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 169 15.1 Avec Maxima 169 15.2 Avec XCAS 170 ix     Partie III THÈMES 171 THÈME 1 : XCAS AU LYCÉE ? 173 1.1 XCAS et la géométrie dynamique au lycée 173 1.2 XCAS et les suites 173 1.3 Ce que ni le tableur, ni un logiciel de géométrie ne peuvent faire 179 a. Preuve d’un théorème 179 b. Illustration graphique 182 c. Bilan de cette activité 183 1.4 Moralité... 183 THÈME 2 : LOGIQUE ÉLÉMENTAIRE 185 2.1 Premiers contacts 185 2.2 Algèbre de Boole 185 2.3 Le raisonnement par l’absurde 186 THÈME 3 : THÉORÈMES DE MÉNÉLAÜS ET PAPPUS 189 3.1 Coordonnées barycentriques 189 a. Une condition d’alignement 189 b. Une démonstration rapide du théorème de Ménélaüs 190 3.2 Problème du Monde 192 3.3 Cercles de Pappus 193 a. Approche historique 193 b. Résolution astucieuse de représentations paramétriques et d’une inversion 196 THÈME 4 : SUITES ET CHAOS 199 4.1 Modélisation 200 4.2 Observation chiffrée 200 4.3 Observation graphique 201 4.4 Diagramme de bifurcation 203 THÈME 5 : CONIQUES 205 5.1 Étude algébrique des coniques 205 a. Étude mathématique au niveau Bac+1 205 Premier cas : ab = 0 205 second cas : ab ̸= 0 206 b. Étude mathématique au niveau Bac+2 208 Écriture matricielle de l’équation 208 Exemple 209 c. Étude informatique 210 5.2 Étude analytique des coniques 211 a. Ellipse d’équation x2 a2 + y2 b2 = 1 211 b. Hyperbole d’équation x2 a2 −y2 b2 = 1 213 5.3 Ensemble des points M du plan tels que MF = eMH 214 5.4 Foyer et directrice d’une conique 214 x     a. Cas de l’ellipse 214 b. Cas de l’hyperbole 215 5.5 Construction de la tangente à une conique 215 a. Le théorème 215 b. L’observation par XCAS 215 c. La preuve par XCAS 217 5.6 Activités géométriques sur les paraboles 218 a. Tracé d’une parabole à la règle et au compas 218 b. Pourquoi les antennes paraboliques sont-elles paraboliques ? 219 5.7 Coniques et cônes 220 a. Section d’un cône par un plan d’équation x = t 221 b. Section d’un cône par un plan d’équation x = t +k · z 222 THÈME 6 : SÉRIES DE FOURIER 225 6.1 Exploration 225 6.2 Interprétation physique 228 6.3 Phénomène de Gibbs 229 THÈME 7 : MUSIQUE 235 7.1 Construction d’une gamme avec Scilab uploads/Geographie/ guide-du-calcul-avec-les-logiciels-libres 1 .pdf

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• Publié le Jui 28, 2021
• Catégorie Geography / Geogra...
• Langue French
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