ANALYSE HILBERTIENNE Par Houcine Chebli Professeur de Mathématiques Faculté des

ANALYSE HILBERTIENNE Par Houcine Chebli Professeur de Mathématiques Faculté des sciences de Tunis Centre de Publication Universitaire Tunis, 2001                                                                                                                                                                                                    !   "#    $                                              %                &                       '                                                                                    (                 )                                                                               * ' +                    ,                    &  %                      -         * ' +   Æ           &                                                                             .     /001 2      Table des matières 1 Espace de Hilbert 5 1.1 Propriétés élémentaires et Exemples. . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Projection Orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Dualité et théorème de Représentation de Riesz . . . . . . . 28 1.4 Bases Hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Exemples de bases hilbertiennes 45 2.1 Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3 Polynômes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4 Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.5 Polynômes d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6 Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3 Endomorphismes continus d’un espace de Hilbert 96 3.1 Généralités sur les opérateurs continus . . . . . . . . . . . . 96 3.2 Exemples d’opérateurs linéaires continus . . . . . . . . . . . 103 3.3 Propriétés spectrales des opérateurscontinus . . . . . . . . . 113 3.4 Opérateur adjoint–Opérateur autoadjoint . . . . . . . . . . . 126 4 Opérateurs Compacts 138 4.1 Définitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.2 Spectre d’un opérateur compact . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.3 Etude spectrale d’un opérateur compact auto-adjoint . . . . 156 5 Problème de Sturm-Liouville 165 5.1 Opérateur à Noyau hermitien continu . . . . . . . . . . . . . 165 5.2 Opérateur différentiel du second ordre . . . . . . . . . . . . . 175 5.3 Opérateur de Sturm-Liouville Régulier . . . . . . . . . . . . 182 5.4 Fonction de Green et Résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.5 Etude spectrale des opérateurs de Sturm-Liouville . . . . . . 195 5.6 Etude spectrale de l’opérateur de Bessel . . . . . . . . . . . 200 Chapitre 1 Espace de Hilbert Les espaces de Hilbert1 sont la version de dimension infinie des es- paces euclidiens ou hermitiens, dont ils gardent beaucoup de propriétés. En fait, ils trouvent leur origine dans la théorie des développement de fonc- tions arbitraires en séries de fonctions orthogonales, celles-ci apparaissant le plus souvent comme fonctions propres de certains opérateurs différentiels linéaires (séries de Fourier, fonctions sphériques, polynômes orthogonaux). Ils fournissent le cadre mathématique dans lequel se développe la méca- nique quantique et jouent un rôle important dans beaucoup de branches des mathéma-tiques, spécialement en Analyse linéaire. 1.1 Propriétés élémentaires et Exemples. Dans tout ce chapitre K désigne ou bien le corps des nombres réels R ou bien le corps des nombres complexes C. Définition 1.1.1. Soit E un espace vectoriel sur K. Une forme sesquili- néaire sur E, est toute application B de E × E dans K vérifiant, quels que soient α, β dans K et x, y, z dans E (a) B(αx + βy, z) = αB(x, z) + βB(y, z) (b) B(x, αy + βz) = αB(x, y) + βB(x, z) On dit que B est hermitienne si elle vérifie de plus (c) B(x, y) = B(y, x), ∀x, y ∈E Notons que dans le cas où le corps des scalaires est K = R, une forme sesquilinéaire est simplement une forme bilinéaire, et une forme hermitienne 1Le mathématicien allemand David HILBERT (1862-1943) est l’un des plus grands mathématiciens de son temps. Il a contribué à presque toutes les branches des mathé- matiques, de la logique à l’algèbre en passant par l’analyse et la géométrie. Lors du Congrés International des mathématiciens tenu à Paris en 1900, il a formulé 23 pro- blèmes qui ont servi de référence dans la recherche mathématique et ouvert la voie à plusieurs générations de chercheurs. 6 Espace de Hilbert est une forme bilinéaire symétrique. La forme quadratique associée à B est définie par : Q(x) = uploads/Geographie/ analyse-hilbertienne.pdf

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