Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 Cours de Mathématique Pierre Joli pjoli@ufrst.univ-evry.fr 2 Chap 1: Calculs

1 Cours de Mathématique Pierre Joli pjoli@ufrst.univ-evry.fr 2 Chap 1: Calculs Vectoriels 3 Où A est l'origine et B l'extrémité du vecteur. Il possède les caractéristiques suivante : • une longueur, appelée norme du vecteur, et notée • une direction définie par un angle orienté de sa droite de support . • un sens, indiqué par une pointe de flèche et défini par un angle orienté. Vecteur géométrique Un vecteur géométrique est un segment orienté, noté AB  , AB  Chap 1: Calculs Vectoriels 4 Vecteur géométrique (suite) θ=+  <0 - /2  /2 caractérise la direction de la droite de support -   θ  caractérise le sens (ou l'orientation) du vecteur Chap 1: Calculs Vectoriels A B  A B i  j  =θ >0 i  j  A B i  j   >0 θ=+    =θ<0 A B i  j   y0 y0 y0 x x x x y0 y = tg(α) x +y0 tg(α)= tg() 5  On ne change pas les caractéristiques d'un vecteur par translation c'est-à-dire sa norme, sa direction, son sens restent les mêmes. Vecteur géométrique (suite) A B C D V  AB CD V     6 Représentations physiques  Vecteur position d'un point dans l'espace  Vecteur vitesse d'un point par rapport à un référentiel  Vecteur accélération d'un point par rapport à un référentiel  Vecteur force (ou densité de force) en un point  Moment d'une (ou d'une densité de force) par rapport à un point de référence Chap 1: Calculs Vectoriels 7 Définitions Deux vecteurs ayant même direction sont dits parallèles. La multiplication par un scalaire ne change pas la direction du vecteur. AB BA    . sont deux vecteurs de sens opposés U V     U  V  U  V  >1 <-1 Chap 1: Calculs Vectoriels U V 0      U V 0      8 Addition de deux vecteurs U  V  U V    U  V  Méthode du parallélogramme Méthode du triangle U V    U  V  Chap 1: Calculs Vectoriels 9 Relation de Chasles A X D Pour tout point A, B, et X du plan ou de l'espace, on a l'égalité : AD AX XD      Chap 1: Calculs Vectoriels 10 Angles et triangles (rappels de trigonométrie) Lois des sinus A B C a b c 2R sin( ) sin( ) sin( )       Lois des cosinus A C B 2 2 2 A 2 2 2 B 2 2 2 C a b c 2bc cos( ) b c a 2ca cos( ) c a b 2ab cos( )             a = b= c= Chap 1: Calculs Vectoriels R est le rayon du cercle circonscrit à ABC A B C BC   AB   AC  11 Norme du vecteur somme U V    U  V  2 2 2 U V U V 2 U V cos( )              θ -θ 0 θ   est l'angle entre les deux vecteurs U  V  et Chap 1: Calculs Vectoriels 12 L’orientation d’un vecteur quelconque dans un plan peut être définie par rapport un axe orientée (0, ) tel que Vecteur normé U  Chap 1: Calculs Vectoriels 0 est le vecteur normé de , il a le même sens et la même orientation i  U  i  1 i   u  U  U U u U u U u U                   u  13 Cercle trigonométrique (R=1) Chap 1: Calculs Vectoriels 0 i  j  x y u u u cos( )i sin( ) j            x u cos( )i     y u sin( ) j     u   IP; -        I P ) cos( /2 -  1 -1 ) sin( /2 -  1 -1 -/2 -/2   + 2 2 u 1 cos( ) sin( ) 1        cos( ) sin( ) 2 cos( ) sin( ) 2           cos( ) cos( ) fonction paire sin( ) sin( ) fonction impaire           14 Vecteurs algébriques Un vecteur peut être défini de manière unique dans un base orthonormée par ses composantes (ou coordonnées) algébriques. U  Dans un plan cartésien y U  x U  i  j  x x U U i    : vecteur projeté sur l'axe des x y y U U j    : vecteur projeté sur l'axe des y x x y y (i , j) U U U i U j U U              Écriture vectorielle Écriture algébrique 2 2 x y Avec i j 1, i j et d'aprés la normr d'une somme on obtient U U U           Chap 1: Calculs Vectoriels 15 x y y x U U cos( ) U U u U U sin( ) U sin( ) tg( ) cos( ) U                     Vecteurs algébriques (suite) ) ( tang  /2 3/2 -/2 tg()  cos() sin() tg( ) tg( )      + 16 Vecteurs algébriques (suite) U  y U  x U  i  j  y y x y x x U arctan( ) si U U 2 2 tg( ) U U sinon arctan( ) U                       Chap 1: Calculs Vectoriels U  y U  x U  i  j  θ= arctan (Uy /Ux) θ= arctan (Uy /Ux)+ arctan est une fonction disponible sur la calculatrice définie sur -/2    /2 17 U  Dans un espace cartésien x U  i  j  x x U U i    : vecteur projeté sur l'axe des x y y U U j    : vecteur projeté sur l'axe des y x y x y z z (i , j,k) U U U U i U j U k U U                    Écriture vectorielle Écriture algébrique 2 2 2 x y z Avec i j k 1, i j, j k, i k et d'aprés le module d'une somme on obtient U U U U                  k  z z U U k    : vecteur projeté sur l'axe des z Vecteurs algébriques (suite) Chap 1: Calculs Vectoriels 18 Produit scalaire U.V U V cos( ) 0          U.V 0   U.V 0   U.V 0   Chap 1: Calculs Vectoriels 19 Produit scalaire (suite) x y z x y z x x y y z z U V (U i U j U k) (V i V j V k) U V U V U V                  Car i i j j k k 1 et i j j k i k 0                    Base orthonormée Le produit scalaire est commutatif Chap 1: Calculs Vectoriels 20 x y z U U i cos( ) avec (i,u) U U U U j cos( ) avec ( j,u) U U U U k cos( ) avec (k,u) U U                                        L'orientation d'un vecteur en 3D peut être définie par trois angles dont on connaît les cosinus par: U  Vecteurs algébriques (suite) Chap 1: Calculs Vectoriels 21 Produit vectoriel W U V U V sin( )n uploads/Geographie/ cal-vect.pdf