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RAPPELS DE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE À L’USAGE DES ÉTUDIANTS STAPS Biomécanique

RAPPELS DE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE À L’USAGE DES ÉTUDIANTS STAPS Biomécanique L1 1. Vecteurs Rappels de Mathématiques Egalité de deux vecteurs: Deux vecteurs sont équipollents  si leurs supports sont parallèles (D1) // (D2)  et s’ils ont même module AB=CD C D (D2) A B (D1) A B (D) A B Un vecteur est un bipoint orienté  A et B  droite (D) appelée support du vecteur  A est l’origine et B l’extrémité du vecteur  Longueur AB représente le module du vecteur et se note AB AB AB AB AB 1) Définitions: Rappels de Mathématiques 1 V 2 V Somme géométrique de deux vecteurs: Soit O un point arbitraire, on construit les vecteurs OA et AB. OB représente alors le vecteur somme. 1 V OA 2 V AB 2 1 V V V OB V OB O A B Quels que soient les points A, B et C, AC BC AB Somme des vecteurs commutative: 1 2 2 1 V V V V Somme des vecteurs associative: 3 2 1 3 2 1 3 2 1 V V V V V V V V V Rappels de Mathématiques Opposé de AB: BA V AB alors V AB Si 2 2 Différence géométrique de deux vecteurs: Soit O un point arbitraire, on construit les vecteurs OB et BA. OA représente alors le vecteur différence. 2 1 ) ( V V X OA AB OB BA OB OA X OA 1 V 2 V 1 V OB 2 V AB O B A X V V 2 1 Rappels de Mathématiques Produit d’un vecteur V par une grandeur scalaire k:  de même direction que le vecteur V  dont le module ou la norme est le produit  de même sens que V si k>0 et de sens opposé si k<0. V k V' V k V' V ' V ' V K>0 K<0 Distributivité de la multiplication / addition 1 2 2 1 V V k V k V k V k V k V k k 2 1 2 1 et 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 V k V k V k V k V V k k Rappels de Mathématiques Soit (i,j,k) des vecteurs unitaires, de module ou norme égale à 1, ayant pour supports respectifs Ox, Oy, et Oz. On définit ainsi un repère orthonormé direct pour lequel les supports sont orthogonaux et leurs normes sont égales à 1. Soit (x,y,z) les mesures algébriques des vecteurs OC, OD et OE. k z OE j y OD i x OC k z j y i x OE OD OC OA x, y, et z sont appelées les composantes scalaires ou les coordonnées du vecteur OA. Rappels de Mathématiques A B A B A B z z y y x x AB Propriété: Soit A le points de coordonnées (xA,yA,zA) et B le point de coordonnées (xB,yB,zB). Alors le vecteur AB pour coordonnées: k z z j y y i x x AB A B A B A B 2 2 2 ) ( ) ( ) ( A B A B A B z z y y x x AB Expression analytique d’un vecteur Soient les vecteurs : V1 = x1 i+ y1 j + z1 k V2 = x2 i+ y2 j + z2 k Si V1= 0 x1 = y1 = z1 = 0 Si V1 = V2 x1 = x2 y1 = y2 z1 = z2 A B Exemple d’application (Erreur cinématique) Pendant mouvement le vecteur bras : Origine (coude) Direction (bras) Sens (du coude vers poigné) Module (Longueur du bras) Utilisation pour quantification erreur cinématique: Le bras ne change pas de longueur, donc le module du vecteur bras est constant d’une image à l’autre. Cette évidence permet de vérifier la précision de la mesure réalisée grâce aux caméras. z0 y0 x0 2 2 2 ) ( ) ( ) ( A B A B A B z z y y x x AB Exercice A B C C’ A’ B’ O’ O (0,0,0) A (a,0,0) B (0,a,0) C (0,0,a) O’ (a,a,a) A’ (0,a,a) B’ (a,0,a) C’ (a,a,0) Exercice Exercice 2 2 2 ) ( ) ( ) ( A B A B A B z z y y x x AB 2 2 2 ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( a a AB 2 2 2 a a AB 3 3 ' 00 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ' 00 2 2 2 2 a a a a a Diagonale des faces Diagonale du cube A B C C’ A’ B’ O’ Rappels de Mathématiques Propriétés:  Les projections de deux vecteurs équipollents sont deux vecteurs équipollents.  Les projections d’un même vecteur sur deux supports parallèles sont deux vecteurs équipollents.  sur une droite parallèlement à la direction d’un plan (a). (a) 2) Projection des vecteurs: (b)  sur un plan parallèlement à une droite (b). Rappels de Mathématiques Projection orthogonale d’un vecteur: Lorsque la direction de plan ou de la droite parallèlement à laquelle on projète est orthogonale à la droite ou au plan sur lequel on projette, la projection est dite orthogonale. C’est la projection la plus utilisée en mécanique et donc en biomécanique. Rappels de Mathématiques Représentation d’un vecteur par ses projections: Soit un vecteur V, un plan (P) et une droite (D) orthogonale à (P). Le vecteur V peut être projeté sur (P) parallèlement à (D), soit OB. Le vecteur V peut être projeté sur (D) parallèlement à (P), soit OC. OC OB OA Tout vecteur est ainsi la somme géométrique de sa projection sur une droite (D) parallèlement à (P) et de sa projection sur le plan (P) parallèlement à (D). Rappels de Mathématiques Projection orthogonale d’un vecteur OB est la projection orthogonale de OA sur (O,x) OC est la projection orthogonale de OA sur (O,y) cos OA OB OB sin OA OC OC Rappels de Mathématiques OB est la somme géométrique de sa projection sur Ox parallèlement à Oy et de sa projection sur Oy parallèlement à Ox. OE OD OB OA est la somme géométrique de sa projection sur Oz parallèlement au plan (Ox, Oy) et de sa projection sur le plan (Ox, Oy) parallèlement à Oz. Et donc: OE OD OC OA PRODUIT PRODUIT SCALAIRE DE 2 VECTEURS Rappels de Mathématiques ) , cos( 2 1 2 1 2 1 V V V V V V Définition: Etant donné deux vecteurs V1 et V2, on appelle produit scalaire le produit de leurs mesures algébriques et du cosinus de l’angle entre ces deux vecteurs. 1 V 2 V Propriétés: 1 2 2 1 V V V V 3 1 2 1 3 2 1 V V V V V V V et 3) Produit scalaire de deux vecteurs: Rappels de Mathématiques Expression analytique du produit scalaire: k z j y i x V 1 1 1 1 k z j y i x V 2 2 2 2 Soient et Alors 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 z z y y x x k z j y i x k z j y i x V V k k j j i i i i 1 ) 0 cos( Cas particuliers: 1 1 1 1 1 1 1 1 ) , cos( V V V V V V V V k j k i j i j i 0 ) 90 cos( Produit scalaire α 0 ] 0; π/2 [ π/2 ] π/2 ; π [ π Angle nul aigu droit obtu plat Cos α 1 ] 0 ; 1 [ 0 ] -1 ; 0 [ -1 > 0 0 < 0 Valeur maximale positive Nulle Négative Minimale 2 1 V V 2 1 V V 2 1 V V Exercice d’application PRODUIT VECTORIEL DE 2 VECTEURS Rappels de Mathématiques 4) Produit vectoriel de deux vecteurs: Définition: On appelle repère orthonormé direct un repére orthonormé tel qu’un observateur placé sur le vecteur k voit le vecteur i à sa droite et le vecteur j à sa gauche. Définition: Soit un espace vectoriel orienté par un repère orthonormé direct et deux vecteurs de cet espace OA et OB non nuls et non parallèles. On appelle produit vectoriel de OA par OB le vecteur OC défini par:  Le vecteur OC est de direction perpendiculaire au plan AOB  Le sens du vecteur OC est tel que le trièdre (O,ABC) soit direct  Le module du vecteur OC vérifie: ) , sin( OB OA OB OA OC OB OA OC Rappels de Mathématiques Propriétés du produit vectoriel 1 2 2 1 V V V V 2 1 2 1 V V V V 2 1 2 1 V V V V 3 1 2 1 3 2 1 V V V V V V V 4 2 3 2 4 1 3 1 4 3 2 1 V V V uploads/Geographie/ biomecanique-rappels-maths.pdf