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2013-03-25 11:52:46 Page 1/7 2013 Physique PSI 4 heures Calculatrices autorisées Les frottements de glissement Diverses valeurs numériques sont regroupées à la fin de l’énoncé. On y trouvera aussi un formulaire fournissant quelques intégrales utiles et deux expressions d’analyse vectorielle. Cet énoncé aborde quelques phénomènes associés aux frottements de deux solides Σ1 et Σ2 en glissement relatif le long de leur interface. Dans ce contexte, il est fondamental de distinguer l’aire apparente S de cette interface, telle que l’on peut la percevoir à l’échelle macroscopique, de l’aire réelle de contact A. En effet, la surface d’un solide, rugueuse à l’échelle micrométrique, présente des aspérités de hauteurs diverses. Seules les plus proéminentes de chacun des solides se rencontrent et se déforment, faisant apparaitre de petites zones plates appelées jonctions où l’interaction entre les solides se concentre. I Effets thermiques aux jonctions Lorsque Σ1 et Σ2 glissent l’un contre l’autre, les jonctions s’échauffent à cause de la dissipation d’énergie associée aux frottements. Dans cette partie, on étudie quantitativement cet effet. I.A – Diffusion thermique dans un milieu semi-infini z O Figure 1 On considère pour l’instant un solide indilatable, homogène et semi-infini, situé dans le domaine z ∈[0, +∞[, latéralement limité par un cylindre de section s et de génératrices parallèles à ⃗ ez (figure 1). Ce solide cylindrique est calorifugé latéralement. On note λ la conductivité thermique du maté- riau dont est constitué le cylindre, ρ sa masse volumique et c sa capacité calorifique massique, quantités indépendantes de la température. Ce mi- lieu, présentant préalablement une température uniforme T0, va recevoir de l’énergie thermique au travers de sa surface d’équation z = 0 seulement. Le rythme auquel ce transfert s’effectue sera précisé plus loin. On analyse l’évolution de sa température T supposée ne dépendre que de z et du temps t. On note θ(z, t) = T(z, t) −T0 l’élévation de température provoquée par l’apport thermique. I.A.1) Montrer que l’élévation de température θ(z, t) obéit à l’équation aux dérivées partielles ρc∂θ(z, t) ∂t = λ∂2θ(z, t) ∂z2 Que devient cette équation lorsque λ dépend de la température T ? I.A.2) Milieu chauffé brièvement Dans cette question, le solide n’est chauffé que pendant une durée extrêmement brève entre les instants t0 −δt et t0 = 0. Pendant ce très court échange, le solide reçoit la quantité de chaleur δQ0 = j0sδt. Il en résulte une petite élévation de température notée δθ(z, t). a) Que vaut δθ(z, t) pour t < −δt et z ⩾0 ? b) On note G(z, t) = B √ t exp  −z2 4Dt  avec D = λ ρc. Vérifier que la fonction δθ(z, t) = G(z, t)δt est solution de l’équation aux dérivées partielles établie dans la question I.A.1. c) Exprimer la variation de l’énergie interne U du solide entre un instant t1 < −δt et un instant t2 > 0, d’une part en fonction de j0, d’autre part en utilisant G(z, t). En déduire l’expression de B en fonction de j0, expression que l’on simplifiera en introduisant l’effusivité thermique e = √λρc. d) Plaçons-nous maintenant dans la situation où le très bref échange thermique δQ0 a lieu à un instant t0 > 0. Exprimer δθ(z, t) en distinguant deux intervalles de temps. I.A.3) Milieu chauffé continument a) Le système est maintenant chauffé sans interruption à partir de l’instant initial avec une densité de flux thermique j0 fonction du temps. Quelle quantité de chaleur δQ0 reçoit-il entre t0 −δt0 et t0 ? Quelle élévation de température δθ(z, t) cela provoque-t-il à la cote z à un instant t > t0 ? En déduire sous la forme d’une intégrale l’élévation de température θ(z, t) produite par l’apport thermique ininterrompu depuis l’instant initial. 2013-03-25 11:52:46 Page 2/7 b) Dans le cas particulier où j0 ne dépend pas du temps, le calcul de l’intégrale précédente, non demandé, conduit à θ(z, t) = 2j0 √ t e√π f  z 2 √ Dt  où f est une fonction dont le graphe est fourni sur la figure 2. Exprimer l’élévation de température ΔT = T(0, t) −T0 de l’interface z = 0. La profondeur δ caractéristique de l’échauffement à un instant t est définie par θ(δ, t) = ΔT 2 . En donner une expression approchée. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Figure 2 Graphe de la fonction f I.B – Production d’énergie thermique par les frottements C2 C1 z Φ1 Φ2 Figure 3 On étudie dorénavant la situation où deux cylindres C1 et C2 identiques au précé- dent, occupant respectivement les régions z > 0 et z < 0, s’échauffent à cause des frottements sur leur interface z = 0. On note s l’aire de cette interface, Φ1 = j1s et Φ2 = j2s les flux thermiques reçus par chacun d’eux. Pour simplifier on suppose que C1 glisse sur C2 immobile et que les deux solides n’échangent d’énergie que l’un avec l’autre, leur ensemble étant isolé thermodynamiquement du reste de l’univers. Soit ps la puissance surfacique négative des forces de frottement exercées par C2 sur C1. I.B.1) On note Ei = Ui + Eci avec i ∈{1, 2} l’énergie totale du cylindre Ci, composée de ses énergies interne et cinétique. Appliquer le premier principe de la thermodynamique à chacun des deux solides entres deux instants séparés de dt. I.B.2) Appliquer le premier principe à l’ensemble des deux solides. I.B.3) En déduire une relation entre ps, j1 et j2. I.C – Application aux jonctions Le modèle développé dans les questions précédentes permet d’estimer l’échauffement des jonctions décrites dans l’introduction lorsque C1 glisse sur C2 à la vitesse v. Dans ce cas on note τc la force tangentielle par unité de surface exercée par C2 sur C1. La puissance surfacique correspondante s’exprime par ps = −τcv. I.C.1) Quand C1 et C2 sont formés du même matériau avec le même état de surface, donner l’expression de j1 et de j2 en fonction de ps. I.C.2) Les jonctions ont un diamètre de l’ordre de 0,1 mm. Quelle est la durée τ du contact si v = 1 m · s−1 ? I.C.3) Pour estimer les effets thermiques au niveau des jonctions, on utilise les résultats de I.A.3.b à l’instant t = τ . a) Comparer quantitativement les propriétés de l’acier, du granit et du Téflon en calculant l’élévation de tem- pérature de l’interface et la profondeur δ à la fin du contact. b) Analyser la pertinence de l’approximation qui consiste à supposer les deux milieux semi-infinis pour étudier la diffusion thermique dans chaque jonction (hypothèse introduite au début de I.A). 2013-03-25 11:52:46 Page 3/7 II Un système auto-lubrifié Les forces de frottement associées au glissement d’un solide sur la glace ou la neige sont fréquemment étudiées en raison de leur importance pour diverses pratiques récréatives ou pour les moyens de transport dans les régions froides. À des températures de l’ordre de −40◦C, ce glissement s’effectue avec une résistance énorme, comparable à celle que l’on observe sur du sable. Pour des températures de l’ordre de −10◦C, les forces de frottement chutent d’un ordre de grandeur et le glissement devient aisé. Ce comportement s’explique par la fusion superficielle de la glace sous l’objet glissant, la fine couche d’eau liquide apparue jouant le rôle de lubrifiant. L’écoulement de cette eau est supposé incompressible dans tout le problème. Nous appellerons « patin » le solide Σ1 glissant sur la glace, désignée par Σ2. Dans les parties II et III, il est question des forces s’exerçant sur Σ1 dans les jonctions. On note A1 l’aire d’une jonction et ⃗ R1 la résultante des forces que Σ1 y subit. On la on décompose sous la forme ⃗ R1 = R1x ⃗ ex + R1z ⃗ ez. Le vecteur unitaire ⃗ ez est perpendiculaire à l’interface apparente des deux solides ; ⃗ ex lui est parallèle dans la direction du glissement. La réunion de toutes les jonctions donne l’aire réelle de contact A sur laquelle Σ1 est soumis à des efforts de résultante ⃗ R = Rx ⃗ ex + Rz ⃗ ez. II.A – Mécanisme de fusion Deux hypothèses ont été émises pour expliquer la fusion superficielle de la glace : −selon Reynolds, la fusion s’explique par la surpression exercée par le patin sur la glace ; −selon Bowden, la fusion s’explique par l’élévation de température provoquée par les frottements. Les questions ci-dessous apportent des éléments pour trancher parmi ces deux propositions. II.A.1) Considérons une paire de skis d’aire apparente S = 0,3 m2 supportant un skieur de 75 kg (skis compris) glissant sur un plan horizontal. On suppose que l’aire réelle de contact A représente un millième de l’aire apparente. Calculer la surpression s’exerçant sur la neige. II.A.2) Rappeler l’allure du diagramme d’état de l’eau dans le plan (P, T). On assimile la courbe relative à l’équilibre liquide-solide à une droite. Déterminer sa pente puis l’abaissement de la température de fusion provoqué par la surpression de la question précédente. II.A.3) Considérons maintenant l’échauffement associé aux frottements pour un patin glissant à la uploads/Geographie/ centrale-supelec-psi-2013-physique-epreuve.pdf

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