Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 1- Introduction à la MMC Master I CM 1.1 Définitions -Mécanique. Il s’agit de

1 1- Introduction à la MMC Master I CM 1.1 Définitions -Mécanique. Il s’agit de la branche de la physique qui décrit les mouvements et les équilibres d’un système. -Milieu. On ne parle pas ici de matériau mais de milieu. On est donc en présence d’une théorie « abstraite », qui est dans un premier temps éloigné de la réalité physique et expérimentale. Ceci permet à cette théorie de rester le plus général possible. Elle ne se spécialisera en différentes branches (traitant de différents matériaux) que plus tard dans le cours. -Continu. La notion de continuité est intimement liée à celle d’échelle. On va présenter une théorie abstraite, mais on doit garder à l’esprit qu’elle sera appliquée au monde physique. Tous les matériaux réels sont discontinus à petite échelle (molécules, cristaux, grains de sables, etc.). Un matériau réel sera donc considéré comme continu (cette notion sera précisée) à condition que l’on soit suffisamment loin, ou suffisamment myope. D’une manière plus générale, la MMC est une construction mathématique. On dira qu’il s’agit d’une modélisation. En d’autres termes, c’est une représentation abstraite du monde physique qui repose sur des hypothèses que nous savons plus ou moins vraies selon les applications. Comme toujours dans les sciences physiques, le critère royal pour déterminer si la théorie est valide dans un cas donné est bien connu : il s’agit de l’expérimentation. 1.2 Positionnement de la MMC au sein de la mécanique La plus simple des mécaniques « modernes » est la mécanique du point (fondée sur les résultats de Newton). Elle permet de déterminer la position, la vitesse et l’accélération d’un « point matériel », c'est-à-dire d’un objet mathématique sans « forme » ni « volume », mais muni d’une masse et soumis à des forces. C’est la théorie utilisée par exemple pour étudier le mouvement des planètes sur leur orbite. L’étape suivante et la mécanique du solide indéformable. Elle reprend les ingrédients de la mécanique du point, mais ajoute au système d’étude une « forme », et donc un volume et une distribution spatiale de la masse. Cette mécanique introduit les notions de rotation, d’inertie, et de moment. Elle s’applique par exemple très bien à l’étude des systèmes articulés (robotique, etc.) ou à l'étude micromécanique du sable. L’ajout essentiel de la MMC est d’introduire la possibilité pour le système de se déformer. Bien entendu, ceci complique énormément la théorie, et va notamment rendre nécessaires des outils mathématiques beaucoup plus sophistiqués que pour les deux premières mécaniques. 1.3 Hypothèses principales de la MMC La MMC est une mécanique dite « classique », ce qui signifie que : _ l’échelle du problème est très grande devant la taille des particules élémentaires. La MMC n’est donc pas quantique. _ la vitesse de la matière est très faible devant celle de la lumière. La MMC n’est donc pas relativiste. L’hypothèse principale de la MMC est nommée hypothèse de continuité. Elle stipule que les propriétés de la matière (densité, propriété mécaniques, etc.) sont continues. Ceci implique qu’elles peuvent êtres décrites par des objets mathématiques continus et dérivables (au moins par morceaux). On nommera ces objets des champs, et ils dépendront à la fois de l’espace et du temps. D’une manière générale, cela signifie que la MMC, lorsqu’elle sera appliquée au monde réel, s’intéressera à des moyennes locales. Il est impossible de déterminer le mouvement de chacune des particules élémentaires constituant un système physique (à titre d’exemple, un millimètre cube d’air ambiant comporte environ 1018 molécules), donc on devra s’intéresser à un volume suffisamment grand pour le considérer continu. A titre d’exemple, la pression exercée par un fluide sur une paroi solide est due à une multitude d’impact de molécules du fluide sur le solide, et on ne la représentera pourtant que par un scalaire (qui sera l’effet mécanique moyen de ces impacts sur un petit intervalle de temps et sur une petite surface du solide). Par la suite on introduira progressivement un certain nombre d’autres hypothèses au sein de la théorie (hypothèses des petites perturbations, conservation de la masse, principe fondamental de la dynamique, etc.), lorsque l’on sentira que la théorie est « bloquée » sans l’apport de ces hypothèses. Université Mécanique des milieux continus 2018/2019 Larbi BENM'HIDI Oum El Bouaghi Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des milieux continus Chapitre 2 : Calcul tensoriel et notation indicielle 2 1.4 Typologie des milieux continus La matière que l’on connaît dans le monde physique est souvent considérée comme étant dans l’un des trois états bien connus : solide, liquide, gazeux. Ces trois états peuvent prétendre, sous diverses conditions, au statut de milieu continu (même si c’est moins facile pour l’état gazeux, mais celui-ci intéresse assez peu les géotechniciens après tout). On peut aussi proposer un grand nombre d’états intermédiaires : fluide, pâteux, mou, épais, plastique, visqueux, etc. Par exemple, un morceau de raclette soumis aux sollicitations thermiques d’un poêlon va passer progressivement de solide à liquide, mais on ne sait pas vraiment définir à quel moment s’opérera exactement la transition. On se rend compte que les frontières entre les trois états classiques de la matière sont finalement assez flou. La MMC se place au dessus de ces considérations. Dans un premier temps, on va donc mettre de côté toute notion de « consistance », et proposer une modélisation mathématique de la déformation d’un milieu qui ignore complètement cette notion. Ce n’est que dans un deuxième temps que l’on introduira le concept de modèle de comportement, et que l’on imaginera des modèles mathématiques (fondés sur l’expérience et/ou sur des considérations physiques) propres à chaque application dans le monde physique. 1.5 Applications de la MMC En tant que théorie de la déformation de la matière, la MMC est absolument omniprésente dans l’ingénierie. Même si tous les ingénieurs ne peuvent pas pretender la comprendre parfaitement, l’immense majorité d’entre eux s’en servent (parfois sans le savoir), au moins par l’intermédiaire de logiciels de calcul mécanique. Parmi les applications les plus évidentes, on peut citer :  Les procédés industriels (emboutissage, usinage, etc.), l’industrie mécanique (automobile, machines-outils, aéronautique, etc.), la biomécanique, les matériaux composites, la micromécanique, la mécatronique, etc. Les structures de génie civil,bâtiments, ponts, barrages, routes,en béton, acier,bois, aluminium, etc. La mécanique des fluides, l’aérodynamique, les écoulements en canaux et conduites, les écoulements fluviaux et souterrains, etc. La géophysique, la mécanique des sols, la mécanique des roches, etc.  Beaucoup d’autres disciplines scientifiques et techniques. 2. Rappels d’algèbre tensorielle (Notation indicielle) La MMC est avant tout une théorie mathématique, et repose sur un formalisme un peu compliqué si on ne l’introduit pas avec clarté. C’est l’objet de cette section (et de la suivante). Il faut bien préciser qu’il ne s’agit en aucun cas d’un cours de maths (le niveau de rigueur n’est pas suffisant pour prétendre à ce statut), mais plutôt d’une caisse à outils pour le mécanicien. 2.1. Espaces La mécanique des milieux continus se place dans un cadre à trois dimensions d’espace et une dimension de temps. L’espace de la MMC est un espace affine (ensemble des « points » de l’espace en 3 dimensions), assorti d’un espace euclidien (espace vectoriel muni d’un produit P3 E3 3 scalaire). est muni d’une base orthonormée : E (2.1) La mécanique étant la science du mouvement, il faut introduire le temps. On se place dans le cadre de la mécanique classique, c'est-à-dire que le temps est absolu, et muni d’une structure de droite orientée dont chaque élément est appelé « instant » et noté t. 2.2 Notation d’Einstein Pour alléger les notations, on utilise très couramment en calcul tensoriel la convention de notation d’Einstein, également appelée notation indicielle ou convention de l’indice muet. Cette convention précise que, si un indice (indiquant un des axes , 1 e  2 e  , ou e3  de la base) apparaît deux fois dans un même terme, on lui fera prendre les valeurs et on fera la somme de l’ensemble. 3 2, 1, 3 Par exemple, si l’on rencontre le terme dans une équation, il faut plutôt comprendre i i b . a 3 3 2 2 1 1 b . a b . a b . a   Par conséquent, on aura  b . a b . a b . a j j i i   (2.2) ce qui explique pourquoi cet indice est nommé indice muet : la lettre le représentant n’a aucune importance, la seule chose importante est qu’il est répété et donc qu’il faut faire la somme de 1 à 3.  Exemple : Ecriture d'un vecteur V de composantes , et v dans la base 1 v v B ) e , e , e ( 3 2 1     3 2 i ie v e v e v e v V          3 3 2 2 1 1 Dans le cas (rare) où on ne voudrait pas répéter l’indice, on a coutume de le souligner, comme par exemple dans le monôme . Dans ce cas, l’indice uploads/Geographie/ chap-i-ii-int-calcul-indiciel.pdf