UMBB Année universitaire:2019/2020 Faculté des sciences. Dépt de mathématiques.

UMBB Année universitaire:2019/2020 Faculté des sciences. Dépt de mathématiques. LM3 Module:Géométrie di¤érentielle Chapitre 03 Sous Variétés de Rn 3.1 La notion de sous variété Dans cette partie, E est un espace vectoriel de dimension n. Le concept de sous-variété de E généralise celui de courbe ou de surface. Il s’agit de partie de E qu’on peut l’écrire localement par des bonnes équations. On va donner quatre dé…nition équivalentes de sous-variétés de E 1.1 Dé…nition A  E;une partie de E s’appelle sous-espace a¢ne de E si elle est l’image d’un sous-espace vectoriel de E par une translation. Soit A un sous-espace a¢ne de E. Si a un point de A, le sous espace vectoriel F est l’image réciproque de A par translation x ! x + a: On l’appelle l’espace tangent à A. La dimension de cet espace tangent est par dé…nition la dimension de A: Exemple Soit G un autre espace vectoriel de dimension p. Soit f : E ! G une application linéaire, et b un point de G;alors l’ensemble A = f 1(b) est , s’il n’est pas vide, un sous espace a¢ne de E d0espace tangent ker f: 1.2 Dé…nition Soit M une partie de E:On dit que M est une sous variété de classe Cr de E si pour tout point a 2 M il existe un voisinage ouvert U de a dans E et un di¤éomorphisme : U ! U 0  E tel que (M \ U) soit la trace sur U 0 d’un espace a¢ne A de E: c-à-d (M \ U) = U 0 \ (U) En e¤et, on peut composer par une translation, supposer que A contient 0, ce qui signi…e alors que A un sous espace vectoriel de E:On peut alors trouver une base (ei)i=1;:::;m de Aqu’on complète pour obtenir une base (ei)i=1;:::;n de E: On designe par ( i)i=1:::;n les composantes dans cette base. Alors, dans l’ouvert U de E, l’intersection M \ U est dé…nie par les équations m+1 = m+2 = m+3::: n = 0 Remarquons que la di¤érentielle de l’application ( m+1; m+2; m+3; :::; n) est surjective en tout point de a (sous variété dé…nie par submersion). 1 On verra plus tard que si M peut être dé…nie localement par de telles équa- tions, alors M est une sous-variété de E: IL résulte de la dé…nition une sous variété de E est localement fermée dans E, l’intersection d’un ouvert et d’un fermé. Les ouverts de E sont des cas particuliers de sous variété deE. 1.3 Dé…nition équivalente soit E Respace vectoriel de dimension n: Une partie M de E est une sous variété de dimension k de classe Cp de E si et seulement si pour tout point x 2 M , il existe un voisinage ouvert Ux de x dans E et une application f : Ux ! F de classe Cp tels que 8 > > < > > : F est un espace vectoriel de dimension n k et y0 2 F est …xé Ux \ M = f 1( y0); dxf : E ! F est surjective (f est une submersion en x) On dit que f est une équation régulière de M au voisinage de x Remarque On dit que l’équation est régulière, non pour insister sur le fait que f est Cp;mais sur le fait que dxf est surjective. Cette condition est fondamentale car toute partie fermée de E est une ligne de niveau d’une fonction de classe C1: Rappel 1) dxf est surjective si et seulement si son rang est n-k, autrement dit si et seulement si la matrice Jacobienne Jacxf est de rang n-k. 2) Si F = Rnk et f = (f1; f2; :::fnk);alors dxf est surjective si et seulement si la famille des gradients (rxfi) est libre si et seulement si la famille des formes linéaires (d f1; d f2; :::d fnk) est libre. 3) Dans le cas particulier où dim F = 1 (i:e; dim M = n 1); alors dxf est surjective si et seulement si dxf 6= 0 (ou rxf 6= 0): 4) Si M est une sous-variété, alors quite à réduire le voisinage Ux; on peut toujours supposer que l’équation locale f au voisinage de x véri…e dyf surjective en tout point y 2 Ux: Exemples a) La dé…nition implique que les sous-variété de dimension n de Rn sont des ouverts de Rn . b) Le théorème d’inversion locale implique que les sous variétés de dimension 0 sont les sous-ensembles de Rn dont tous les points sont isolés. (i.e. tq pour tout x 2 M, il existe rx > 0 tel que M \ B(x; rx) = fxg): Par exemple M =  (1 k ; 0); k 2 N  2 est une sous-variété de R2 de dimension 0 alors que M =M [ f(0; 0)g n’est pas une sous -variété. Considérons le graphe G  E  F d’une application f : U ! F de classe Cr d0un ouvert U de E à valeur dans l’espace vectoriel F, Alors le di¤éomorphisme : U  F ! U  F dé…nie par (x; y) = (x; y u(x)) Transforme le graphe de E en U  f0g: C’est la trace sur U  F d’un sous -espace vectoriel de E  F:Donc le graphe G est une sous-variété de E  F: 1. 4 Dé…nition Les sous-variété de dimension 1 sont appelées les courbes de E, Les sous- variété de dimension 2 sont appelées les sourfaces, et les sous-variété de codi- mension 1 (de dimension n-1 ) de E sont appelée hypersurfaces. Exemples de sous-variété: 1) le sous ensemble S de R4dé…nit comme suit : S= n x 2 R4j x1 = cos t; x2 = sin t; x3 = t, x4 = 1 1t2 o où 1 < t < +1: est une sos-variété de R4 de dimension 1, c-à-dire une courbe. t! g(t) = ( cos t; sin t; t; 1 1t2 ); 2) soit S1 =  x 2 R4j x2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4 = 1 ; A tout poit de a = ( a1; a2; a3; a4) de S1 véri…ant a4 > 0 associons l’ouvert U =  u 2 R3j u2 1 + u2 2 + u2 3 < 1 alors S1 est une sous-variété de dimension 3 dans R4; c-à-dire une sous variété appelée une hypersurface. 3.2 Espaces tangents 2.1 Dé…nition Soit M une partie de E et a un point de M: Un vecteur t 2 E est dit tangent à M en a s0il existe un chemin :] "; +"[! E dé…ni sur un petit intervalle ouvert contenant 0; dérivable en 0 tel que : 1) l’image de est contenu dans M: 2) Le vecteur vitesse 0(0) est égale à t: Notation: On désigne par TaM l’ensemble des vecteurs tangent à M en a: 2.3 Proposition Soit M une sous-variété de classe C1 de E: Alors l’ensemble des vecteurs tangent TaM est un sous espace vectoriel de E: Preuve Au voisinage U de a; il existe un di¤éomorphisme : U ! V de classe C1 tel que (M \ U) soit la trace sur V d’un espace vectoriel F  E: 3 On est ramené à véri…er qu’en un point quelconque de F; on a TbF = F: Ce qui évident. 2.4 Dé…nition Soit M une sous-variété de E: On appelle dimension de M en a 2 M la dimension de l’espace tangent TaM. Ainsi, la dimension d’une sous-variété est une fonction localement constante. Si elle est constante, on dit que la sous-variété est est équidimensionnelle; cette constante est la dimension de M: Chacune des composantes connexes d’une sous-variété est équidimension- nelle. Dans la pratique, on se limetera souvent aux sous-variétés équidimension- nelles de dimension m : ceci revient à imposer que dans la dé…nition(2.1), le sous- espace a¢ne A est de dimension m:Une sous-variété de dimension1(resp 2) s’appelle une courbe (resp surface) de E; une sous-variété de dimension n 1 s’appelle une hypersurface de E. Une sous-variété M de dimension 0 de E est un ensemble discret, c’est-à-dire que la topologie induite sur M est la topologie discrète. 3.3 Sous-variétés dé…nies par des équations Soient E et N deux espaces vectoriels, et  E un ouvert de E: 3.1 Théorème Soit f : ! F une application de classe Cn et de rang constant sur un ouvert d’un espace vectoriel E: Soit b 2 M un point de F: L’ensemble M = fx 2 ; f(x) = bg est une sous- variété de de classe Cn;dont l’espace tangent en un point a 2 M est TaM = ker daf Démonstration: Soit a 2 M;d0aprés le théorème de rang, on peut trouver des voisinages U  et V de a et b respectivement, et des di¤éomorphismes : U ! U 0 et : V ! V 0 tels que f(U)  V et tels que g = ofo uploads/Geographie/ chapitre-4-sous-variete.pdf

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