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Chapitre 7 : Cinématique et dynamique newtonienne (correction) De l’atome aux g

Chapitre 7 : Cinématique et dynamique newtonienne (correction) De l’atome aux galaxies, la matière est en mouvement. La mécanique se donne pour but de décrire le mouvement d’objets appelés systèmes ; l’étude est dans un premier temps ramenée à celle du mouvement de leur centre d’inertie. La cinématique est l’étude des mouvements en fonction du temps, indépendamment des causes qui les produisent La dynamique s’intéresse aux liens entre les mouvements des objets et les actions qu’ils subissent. I- Référentiel d’étude Un référentiel est un objet par rapport auquel est étudié le mouvement d’un système. Il est muni : - d’un repère d’espace - d’une échelle de temps 1) Indiquer dans les situations suivantes, quel référentiel est le plus adapté pour l'étude du mouvement du système : - Une voiture roulant sur la route : Terrestre - Le mouvement de la lune : Géocentrique - Le mouvement de la Terre : Heliocentrique 2) Préciser pour chaque référentiel, l'origine du repère et la direction des axes. Le référentiel terrestre, lié à la Terre, est adapté à l’étude du mouvement d’un objet proche de la surface de la Terre. Tout objet fixe par rapport à la surface terrestre peut être considéré comme origine d’un référentiel terrestre. Les référentiels astrocentriques sont liés au centre d’un astre et associés à des axes de directions fixes par rapport aux étoiles lointaines. Ainsi, les satellites de la Terre peuvent être étudiés dans le référentiel géocentrique (lié au centre de la Terre) Les planètes sont généralement étudiées dans le référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil). II- Outils mathématiques permettant de décrire un mouvement En mécanique classique, décrire un mouvement revient à décrire la trajectoire du système étudié, ainsi que sa vitesse. Doc : Repère cartésien 1) Quelle est la trajectoire de la lune dans le référentiel géocentrique? Dans le référentiel lié à la lune? – circulaire – immobile 2) Que ne faut-il pas oublier avant de décrire un mouvement? – Définir le référentiel d'étude – Définir le système Tous les systèmes que nous étudierons par la suite pourront être considérés comme ponctuels. C'est à dire que l'on étudiera seulement la position du centre d'inertie noté G. 1) Le vecteur position ⃗ OG(t) Dans le référentiel d'étude, le système sera repéré par le vecteur position ⃗ OG(t) . Soit un point G de coordonnées (x(t); y(t); z(t)) Ecrire le vecteur position ⃗ OG(t) ⃗ OG(t) = ( x y z) = x ⃗ i +y⃗ j+ z ⃗ k Exprimer sa norme. Quelle est son unité? OG=√x²+y²+z² Et s'exprime en mètre. Les équations x(t), y(t) et z(t) sont appelées les équations horaires de la position. Remarque : En terminale, nous étudierons seulement des mouvements plans. C'est à dire que seulement deux coordonnées seront nécéssaires. 2) Le vecteur vitesse instantanée ⃗ v (t) a) Définir la notion de vitesse moyenne. V= d Δ t La vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par la durée du parcours b) En choisissant une échelle adaptée, tracer les vecteurs vitesses au point L2 et L4, notées respectivement ⃗ v2 et ⃗ v4 ⃗ v2= ⃗ L1 L3 t 3−t 1 = ⃗ ΔOL Δ t (montrer avec relation de chasle) Selon vous, les normes des vecteurs ⃗ v2 et ⃗ v4 sont- elles des vitesses instantanées ou moyenne? Ce sont des vitesses moyennes. V2 est la vitesse moyenne de la lune entre les points 1 et 3. Doc : Chronophotographie du mouvement de la lune dans le référentiel géocrntrique. Temps entre 2 points : τ = 3,5 jours c) Comment pourrait-on obtenir la vitesse instantanée au point 2? Il faut diminuer Δt. En effet la vitesse instantannée est la vitesse moyenne entre deux point infiniement proche. (Δt tend vers 0) Le vecteur vitesse instantanée ⃗ v (t) d'un point G est la variation du vecteur position ⃗ OG(t) au cours du temps. Mathématiquement, la vitesse est donc la dérivée du vecteur position ⃗ OG(t) par rapport au temps. ⃗ v (t)=d ⃗ OG(t) dt Ses coordonnées sont : ⃗ v (t) = ( dx dt dy dt) Ce vecteur est aussi noté ⃗ v (t) = dx dt ⃗ i +dy dt ⃗ j La valeur (norme) de la vitesse est : v=√( dx dt ) 2 +( dy dt ) 2 et s'exprime en m.s-1 La vitesse est toujours tangente à la trajectoire. Exemple : Déterminer graphiquement la vitesse maximale atteinte par un parachutiste lors d'un saut. Expliquer la démarche. Tracer la tangente juste avant l'ouverture du parachute. Déterminer ensuite le coefficient directeur de la tangente. Doc : Altitude d'un parachutiste au cours du temps lors d'un saut 3) Le vecteur accélération ⃗ a(t) Définition : L'accélération est la variation de vitesse au cours du temps. Quelle est l'unité de l'accélération? Par analogie à la vitesse, déterminer l'expression mathémathique reliant l'accélération à la vitesse, puis l'accélération au vecteur position. Le vecteur accélération ⃗ a(t) d'un point G est défini par : ⃗ a(t) = d ⃗ v(t) dt =d 2 ⃗ OG(t) dt 2 Ses coordonnées sont : ⃗ a(t) = ( dv x dt dv y dt) soit ⃗ a(t) = ( d 2 x dt 2 d 2 y dt 2) Ce vecteur est aussi noté : ⃗ a(t) = a x(t)⃗ i +a y(t)⃗ j = d 2 x dt 2 ⃗ i +d 2 y dt 2 ⃗ j La valeur (norme) de l'accélération est : a=√a x 2+a y 2 Exemple : a) Déterminer, graphiquement, le vecteur accélération de la lune dans le référentiel géocentrique au point L3. Que remarquez vous? L'accélération, d'un objet en mouvement circulaire uniforme est orientée vers le centre de la trajectoire. Elle est centripète b) Calculer l'accélération moyenne d'une formule 1 passant de 0 à 100 km.h-1 en 3,2 s. a=Δ v Δ t = (100×1000 3600 ) 3,2 =8,7m.s −2 III- Description de mouvements 1) Trajectoires rectilignes Mouvement rectiligne .................... Mouvement rectiligne ....................... Mouvement rectiligne........................ - Le vecteur vitesse est constant au cours du temps - a = 0 Le vecteur accélération est constant au cours du temps - Le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont de même sens ( ⃗ v.⃗ a>0 ) - La valeur de v augmente - Le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont de sens opposé ( ⃗ v.⃗ a<0 ) - La valeur de v diminue Lors d'un départ en ligne droite, la vitesse d'une moto peut être donnée par la courbe ci-contre. a) Sur ce graphique, définir deux zones distinctes et décrire le mouvement dans chacune d'elles. Première partie : Accélération Deuxième : vitesse constante b) Calculer l'accélération dans ces deux cas. Déterminer le coefficient directeur des droites dans les deux cas. 2) Trajectoire circulaire a) Mouvement circulaire uniforme Le mouvement de la lune autour de la Terre est circulaire uniforme : - Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire - La valeur de la vitesse est constante - Le vecteur accélération est perpendiculaire à la trajectoire et est orienté vers le centre - La valeur de l'accélération est a = v²/r (à connaitre) Dans ce cas, le vecteur accélération est dit centripète. b) Mouvement circulaire non-uniforme La trajectoire du point est circulaire et la valeur de sa vitesse varie. - Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. - Le vecteur accélération est quelconque, vers l’intérieur de la trajectoire et son expression est : ⃗ a(t)=dv dt ⃗ ut+v² R ⃗ un Remarque : La composante suivant ⃗ ut est dite : tangentielle La composante suivant ⃗ un est dite : normale Retrouver l'expression de l'accélération pour un mouvement circulaire uniforme à partir de l'expression générale : ⃗ a(t)=dv dt ⃗ ut+v² R ⃗ un Lorsque le mouvement est uniforme : dv dt =0 IV – Les lois de Newton 1) Première loi de Newton (ou principe d'inertie) Enoncé : Dans un référetiel Galiléen, le centre d'inertie d'un système isolé (ou pseudo-isolé) est en mouvement rectiligne et uniforme (ou au repos). Expression mathématique : Remarque : Un référentiel est dit Galiléen si la première loi de Newton est vérifiée. Un référentiel n'est donc pas galiléen s'il tourne, accélère ou freine par rapport à un référentiel galiléen. Application : On considère le mouvement rectiligne uniforme d'un skieur nautique. La masse du skieur équipé est de 80 kg. La force exercée par le bateau est de 100N. a) Indiquer le référentiel d'étude ainsi que le système. b) Faire un bilan des forces s'exerçant sur le système. (Schéma obligatoire !) c) Déterminer la valeur de la force de frottements, ainsi que de la valeur de la réaction du support. (g=9,8N.kg-1) 2) Deuxième loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique Notion de quantité de mouvement : La quantité de mouvement ⃗ p(t) d'un objet de masse m et dont le centre d'inertie a la vitesse ⃗ v (t) est définie par : ⃗ p(t)=m.⃗ v(t) Enoncé du principe fondamental de la dynamique : Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures Σ ⃗ Fext qui s'exercent sur un système de uploads/Geographie/ cinematique 1 .pdf