C.P .G.E/Béni.Mellal Correction du CNC/P2/MP/2009 Correction de l’épreuve de ph

C.P .G.E/Béni.Mellal Correction du CNC/P2/MP/2009 Correction de l’épreuve de physique (II) filière MP Concours CNC session 2009 EL FILALI SAID CPGE BENI MELLAL MAROC = elfilalisaid@yahoo.fr = 1 PHYSIQUE :Durée des saisons 1.1 Propriétés générales du mouvement 1.1.1 Référentiel galiléen 1.1.1.1- Un référentiel galiléen est un référentiel qui vérifie le principe d’inertie :«Dans un référentiel R si un point matériel M isolé ou pseudo isolé et sa vitesse par rapport à ce référentiel est constante (en équilibre ou son mouvement est rectiligne uniforme), alors ce référentiel est galiléen». 1.1.1.2- Le référentiel géocentrique est le référentiel centré en O barycentre de la terre et son mouve- ment est une translation elliptique par rapport à celui de copérnic : le plan xoy forme le plan équatorial et oz se dirige vers le nord géographique. Le référentiel géocentrique sera considéré comme galiléen si la durée de l’expérience ∆t est très négligeable devant la période du mouvement de O dans le référentiel de copérnic (une année)∆t ≪1 année. Remarque : Pendant ∆t on peut approximer le mouvement de O par un mouvement rectiligne. 1.1.2 Force et énergie mécanique On a : ⃗ FS→O = −G MS m r3 ⃗ r 1.1.2.1- Puisque le champ de force est porté par ⃗ r alors il est central.(sa direction passe toujours par le centre S du soleil). 1.1.2.2- Une force conservative s’il existe une fonction scalaire Ep dite énergie potentielle telle que on peut écrire − → F .d− − → OM = −d Ep ou bien − → F = −− − → grad Ep. En général une force est dite conservative si − → rot− → F = − → 0 1.1.2.3- Montrons que la force de gravitation est conservative ; pour cela calculons − → F .d− − → OM − → F .d− − → OM = −G MS m r2 − → ur.(dr− → ur + rdθ− → uθ + r sin θdϕ− → uϕ) = ⇒− → F .d− − → OM = −G MS m r2 dr = ⇒− → F .d− − → OM = −d  −G MS m r + cte  Donc la force − → F est conservative. 1.1.2.4- L’énergie potentielle Ep = −G MS m r + cte d’après la question précédente. On a Ep(r →∞) = 0 = ⇒cte = 0 Ep = −G MS m r 1.1.2.5- Puisque la seule force qui existe est conservative et d’après le théorème de l’énergie méca- nique ∆Em = W(− → F NC) alors l’énergie mécanique Em de la Terre est constante au cours de son mouvement autour du Soleil (l’integrale première de l’énergie) 1.1.3 Moment cinétique 1.1.3.1- Le vecteur moment cinétique − → LS = − → SO ∧m− → V (O/R) = ⇒− → LS = − → r ∧m− → V 1.1.3.2- Le théorème du moment cinétique pour un point matériel : la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique par rapport à un référentiel R est égal à la somme des moments des forces qui sont lui appliquées . d− → LS dt /R = N X i=1 − − → Mo(− → F i) Page -1/ 7- El.Filali.Said C.P .G.E/Béni.Mellal Correction du CNC/P2/MP/2009 1.1.3.3- On a :− − → Mo(− → F S→O) = r− → ur ∧− → F S→O = ⇒− − → Mo(− → F S→O) = r− → ur ∧(−G MS m r2 − → ur) = − → 0 donc − → LS = − → cte Le moment cinétique de la terre au cours de son mouvement autour du soleil est conservé. 1.1.3.4- Puisque − → LS = − → cte = − → r ∧m− → V alors le mouvement du point O centre de la Terre autour du Soleil est entièrement contenue dans un plan fixe Π. Ce plan est perpendiculaire au vecteur moment cinétique − → LS ⊥Π 1.1.3.5- On pose : − → LS = mC⃗ u 1.1.3.5.1- on a : − → SO = − → r = r− → ur = ⇒− → V (O/R) = ˙ r− → ur + r ˙ θ− → uθ donc Vr = ˙ r , Vθ = r ˙ θ 1.1.3.5.2- Le moment cinétique − → LS , On a : − → LS = mC− → u = r− → ur ∧m( ˙ r− → ur + r ˙ θ− → uθ) = ⇒− → LS = mr2 ˙ θ− → u Don la constante C = r2 ˙ θ 1.1.4 Loi des aires 1.1.4.1- L’aire dΣ, balayée : dΣ = 1 2 ∥(dr− → ur + rdθ− → uθ) ∧r− → ur) ∥ dΣ = 1 2r2dθ comme dθ = ˙ θdt alors dΣ = C 2 dt 1.1.4.2- Par intégration et puisque C est constante alors Σ = C 2 ∆t c’est la loi des aires Justification de l’appellation : On remarque que la vitesse aréolaire dΣ dt est proportionnelle à C, c’est à dire la surface balayée par le vecteur − → r pendant dt est proportionnelle à C (=cte). 1.2 Étude de la trajectoire 1.2.1- On a :dr dt = dr du du dθ dθ dt = ⇒dr dt = −r2 ˙ θdu dθ ˙ r = dr dt = −C du dθ 1.2.2- ◮L’énergie cinétique Ec = 1 2m− → V 2 . ◮Son expression : On a − → V = ˙ r− → ur + r ˙ θ− → uθ = ⇒− → V 2 = ˙ r2 + r2 ˙ θ2 c’est à dire − → V 2 = C2 u2 + du dθ 2 Ec = mC2 2  u2 + du dθ 2 Page -2/ 7- El.Filali.Said C.P .G.E/Béni.Mellal Correction du CNC/P2/MP/2009 1.2.3- L’énergie mécanique du système : Em = Ec + Ep d’près ce qui précède on conclut que Em = 1 2m C2 u2 + du dθ 2! −G MS m u 1.2.4- L’énergie mécanique est une constante donc sa dérivée est nulle par rapport au temps : Em dt = du dθ  mC2[d2u dθ2 + u −G Ms m]  = 0      du dθ = 0 d2u dθ2 + u = G Ms m 1.2.5- Si du dθ = 0 alors la trajectoire est circulaire puisque θ ne dépend pas de t ainsi r = 1 u = Cte 1.2.6- La solution de la deuxième équation est : r = p 1 + e cosθ 1.2.6.1- La distance SO minimale notée rm au périhélie P de la trajectoire rm = SO(cos θ = +1) = ⇒rm = p 1 + e 1.2.6.2- La distance SO maximale notée rM à l’aphélie A rMm = SO(cos θ = −1) = ⇒rM = p 1 −e 1.2.6.3- L’écart relatif entre ces deux distances rM −rm p = 2e 1 −e2 . 1.2.6.4- Application numérique : rM 152749500 km rm 147347800 km rM −rm p 0,036 Commentaire :rM −rm p ≪1 = ⇒la trajectoire elliptique qui tend vers une trajectoire circulaire 1.3 Période temporelle du mouvement 1.3.1- la période T du mouvement de la Terre autour du Soleil : On a : Σ = C 2 ∆t = ⇒πab = C 2 T en remplaçant a par p 1 −e2 et b par p √ 1 −e2 ainsi C2 par pG Ms on trouve T = 2π √G Ms  p √ 1 −e2  3 2 1.3.2- Application numérique : ◮T = 31914758, 07 s = 366, 88 jours. ◮Commentaire : Valeur théorique est légèrement supérieur à la valeur expérimentale Texp = 365, 25 jours. 1.3.3- Indication des surfaces balayée par le rayon-vecteur de la Terre pendant chacune des quatres saisons. Page -3/ 7- El.Filali.Said C.P .G.E/Béni.Mellal Correction du CNC/P2/MP/2009 P EP Hiver Automne EA Été A Printemps 1.3.4- Graphiquement (l’axe AP est un axe de symétrie) et puisque la surface balayée est proportion- nelle au temps alors Σ( ´ Et´ e) = Σ(Printemps) > Σ(automne) = Σ(Hiver) ∆t( ´ Et´ e) = ∆t(Printemps) > ∆t(automne) = ∆t(Hiver) 1.3.5- Montrons l’expression de la durée Th de l’hiver On a :C = r2 dθ dt = ⇒dt = r2 C dθ En remplaçant r par son expression , on trouve Th = 1 C π/2 R 0 r2 dθ = ⇒Th = p2 C π/2 R 0 1 (1 + e cosθ)2 dθ Vue la valeur de e ≪1 en utilisant un DL de rau voisinage de e = 0 on en déduit que Th = p2 C π/2 Z 0 (1 −2e cosθ)dθ Par intégration on trouve : Th = p2 C [π 2 −2e] 1.3.5.1- Application numérique : Th = 774.104 s = 89, 575 jours. 1.3.5.2- De la même façon que précédemment la durée Tp du printemps se calcule approximative- ment par Tp ≃p2 C Z π π/2 (1 −2e cosθ)dθ Par intégration on trouve : Tp = p2 C [π 2 + 2e] 1.3.5.3- Application numérique : Tp = 810.104 s = 93, 777 en jours. Commentaire : La durée du printemps est uploads/Geographie/ cnc-mp-2009-physique-2-corrige.pdf

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