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Devoir III : INTRODUCTION A LA GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Université Cadi Ayyad F

Devoir III : INTRODUCTION A LA GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences et Techniques Marrakech, Département de Mathématiques Nom et Prénom : Youssef AIT TIZI Filière : Geometrie,analyse et applications 2/28/2021 1 1. Soit S1 = {(u, v) ∈R2, u2 + v2 = 1} • Montrons que S1 est une sous-variété : Posons : f(u, v) = u2 + v2 −1, sa diﬀérentielle est donnée par d(u,v)f = (2u 2v) On voit clairement que ∀(u, v) ∈S1 d(u,v)f ̸= 0. Alors : Alors f est une submersion sur S1, puisque (0,0) n’appartient pas a S1. • Montrons que TS1 = {(u, v, −tv, tu), (u, v) ∈S1, t ∈R} Posons m = (u, v) et K = (k1, k2). On sait que : TmS2 = {K ∈R2, < K, m >= 0} Alors TS1 = {(m, K) ∈S1 × R2, K ∈TmS1} ⇒ ( m ∈S1 K ∈TmS1 ⇒ ( u2 + v2 = 1 k1 · u + k2 · v = 0 Résolvant le système en utilisant les règles de Cramer. Posons t = det u v k1 k2 Alors : u = k2 t = ⇒k2 = t · u v = −k1 t = ⇒k1 = t · v Et donc, en eﬀet : TS1 = {(u, v, −tv, tu), (u, v) ∈S1, t ∈R} • Montrons que TS1 est diﬀéomorphe à S1 × R On déﬁnit l’application suivante : φ : TS1 − →S1 × R (u, v, −tv, tu) 7− →(u, v, t) L’application φ est de C1 car ses composantes le sont, en plus elle est bijective sa bijection est donnée par : φ−1 : S1 × R − →TS1 (u, v, t) 7− →(u, v, −tv, tu) qui est également de classe C1. Alors φ est un diﬀéomorphisme entre TS1 et S1 × R et alors les deux ensembles sont diﬀéomorphes. • Donnons le champ de vecteur X sur S1 2 Déﬁnissons le champs de vecteurs par : X : S1 − →TS1 (u, v) 7− →(−v, u) On a évidemment ∀(u, v) ∈S1 < (u, v), X(u, v) >= 0 De plus il ne s’annule en aucun point de S1, d’où c’est bien un champ de vecteurs sur S1. • Le ﬂot du champ de vecteurs X Dt = {m ∈S1, t ∈]a(m), b(m)[} = S1 Et D(X) = {(t, m), m ∈S1 et t ∈R} = S1 × R Donc θ : D(X) − →S1 (t, m) 7− →θt(m) est bien déﬁnie. De plus, on peut l’expliciter comme suit : θ : S1 × R − →S1 (u, v, t) 7− →(e−tv, etu) 2. Soit M une sous-variété de Rn de dimension k etm ∈M. Montrons que : {c′(0) : c :] −ϵ, ϵ[− →M de classeC1, c(0) = m} est un sous-espace vectoriel de Rn. Posons (selon le cours) : TxM = {c′(0) : c :] −ϵ, ϵ[− →M de classeC1, c(0) = m} Soit (U, φ) une carte au voisinage de x avec φ(x) = 0 Posons : Tφ : U − →Rn [c]x − →(φ ◦c)′(0) Montrer que TxM est un sous-espace vectoriel On voit clairement que Tφ est un bijection entre TxM et Rn D’où TxM est un sous-espace vectoriel de dimension n. 3. Soit X un champ de vecteur sur M, θ son ﬂot et K ⊂M un compact. Montrons qu’il existe ϵ > 0 et w un ouvert contenant K tel que θ :] −ϵ, ϵ[×W − →M soit bien déﬁni. 3 D’après le théorème d’existence et d’unicité des solutions ED, la solution dépend diﬀérentiablement de la condition initiale ∀m ∈M, ∃un ouvert tel que m ∈W ⊂M et ϵ > 0 θ :] −ϵ, ϵ[× − →M (t, x) 7− →θt(x) est bien déﬁnie et diﬀérentiable sur W. 4. Soit M une variété diﬀérentiable de dimension n, m ∈M. Pour toute carte locale (U, φ) vériﬁant φ(m) = 0, on déﬁnit T φ : TmM − →Rn par T φ([c]) = (φ ◦c)′(0) (a) Montrons que T φ est bien déﬁnie et que c’est une bijection. Déterminons (T φ)−1. • Montrons que T φ est bien déﬁnie : On a : T φ([c]) = (φ ◦c)′(0) = dxφ(c′(0)) Or dφ est bien déﬁnie alors T φ est bien déﬁnie. • La bijection : - L’injection : T φ([c1]) = T φ([c2]) = ⇒(φ ◦c1)′(0) = (φ ◦c2)′(0) = ⇒[c1] = [c2] -La surjection : Soit v ∈Rn. On prend c :] −ϵ, ϵ[= ⇒M c(t) = φ−1(φ(x) + tv), c(0) = x On a bien : T φ([c]x) = (φ ◦c)′(0) = v D’où T φ est surjective et alors par la suite surjective. • L’inverse est donné par : (T φ x )−1(vj) = [t 7− →(φ−1(φ(x) + tvj (b) Soit (V, ψ) une autre carte vériﬁant ψ(m) = 0. Exprimons T ψ en fonction de T φ. T ψ([c]x) = (ψ ◦c)′(0) = d0(ψ ◦φ−1) · (φ ◦c)′(0) = d0(ψ ◦φ−1) · T φ([c]x) Donc T ψ = d0(ψ ◦φ−1) · T φ TxM T φ / T ψ Rn Rn d0(ψ◦φ−1) < 4 5. Soit (x1, · · · , xn) un système de coordonnées dans une variété M et soit (∂x1, · · · , ∂xn) le champ de repère local associé à (x1, · · · , xn). (a) Donnons la déﬁnition de (∂x1, · · · , ∂xn) Par déﬁnition on a, pour tout m ∈M et pour tout 1 ≤j ≤n ∂ ∂xj|m = (T φ m)−1(vj) Ainsi la famille ∂ ∂x1|m , · · · , ∂ ∂xn|m ! est une base de TmM. (b) Montrons que (dx1, · · · , dxn) est le champ de repère dual de (∂x1, · · · , ∂xn) Cela revient à montrer que, ∀1 ≤i, j ≤n et ∀m ∈M dmxj   ∂ ∂xi|m  = δij Remarquons d’abord que xj = prj ◦φ où pri : Rn − →R est la projection de la j-ième coor- donnée. Donc : dmxj   ∂ ∂xi|m  = d dt|t=0 prj ◦φ[φ−1(φ(m) + tej)] = δij 5 Exercice1 1) l’expression des projections stéréographiques de S2 sur R2 ainsi que leur inverses. soit M=(x,y,z) ∈S2, M’=(X,Y) ∈R2 la proection de M sur R2. Posons : N=(0,0,1) et S=(0,0,-1) le pole nord et sud de S2. Alors : PN(M) = PN(x, y, z) = ( x 1 −z, y 1 −z). PS(M) = PS(x, y, z) = ( x 1 + z, y 1 + z). soit (a, b) ∈R2 tel que PN(x, y, z) = (a, b).alors : PN(x, y, z) = (a, b) ⇔            a = x 1 −z b = y 1 −z x2 + y2 + z2 = 1 ⇔                  x = 2a 1 + a2 + b2 y = 2b 1 + a2 + b2 z = a2 + b2 −1 1 + a2 + b2 ALors : P −1 N (a, b) = ( 2a 1 + a2 + b2, 2b 1 + a2 + b2, a2 + b2 −1 1 + a2 + b2) 2 ) Montrer que pour tout u ∈S2, TuS2 = { v ∈R3 | < u.v >= 0 }. S2 = F −1(0) avec F(x,y,z)=x2 + y2 + z2 −1. Soit u ∈S2, on a : TuS2 = Ker(duF) Alors : TuS2 = { v ∈R3 | duF.v = 0 } TuS2 = { v ∈R3 | 2u.v = 0 } d’ou : TuS2 = { v ∈R3 | < u.v >= 0 } 3 ) Montrer que l’application X : S2 − →R3 , donnée par X(x, y, z) = (y + 2z, −x, −2x) Pour monter que X est un champ de vecteur sur S2, il suﬁt de montrer que X(x, y, z) ∈TS2 Soit (x, y, z) ∈S2. on a < (x, y, z).X(x, y, z) >= x(y + 2z) −yz −2xz = 0 d’ou : X est un champ de vecteur sur S2. * ) déterminer les points où ce champ s’annule . 6 Notons N l’ensemble des points ou le champ X s’annule N = {(x, y, z) ∈S2 | X(x, y, z) = 0}. Alors : (x,y,z) ∈N ⇔( y=-2z et x=0 ). si x=0 ⇒ y2 + z2 = 1 ⇒ 4z2 + z2 = 1 ⇒ z = ±1 √ 5 donc : N = {(0, −2 √ 5, 1 √ 5) , (0, 2 √ 5, −1 √ 5)} 4 ) Montrer que ce champ de vecteur est complet et calculer son ﬂot θ : R × S2 − →S2. Soit t ∈R , u ∈S2 alors on a : θ ′(t, u) = X(θ(t, u)). θ ′(t, u) = X(θ(t, u)) ⇒        θ ′ 1 = θ2 + 2θ3 θ ′ 2 = −θ1 θ ′ 3 = −2θ1 Alors uploads/Geographie/ devoir-iii-ait-tizi-youssef 1 .pdf