Univ ersité Joseph F ourier - Grenoble - LICENCE 1 P artiel PHY 121 MECANIQUE D

Univ ersité Joseph F ourier - Grenoble - LICENCE 1 P artiel PHY 121 MECANIQUE DU POINT 16 mars 2007 - 1h30 CORRIGE 1-C. Ec = mω2r2 2 est la seule égalité en kg.m2.s−2 . 2-A,B. Un mouv emen t est dé rit dans un référen tiel : la vitesse et l'a élération d'une p ersonne dans un train son t diéren tes selon que le référen tiel est elui du sol ou elui du train. P ar on tre, on p eut hoisir n'imp orte quel rep ère p our pro jeter es v e teurs ( artésien, p olaire, et ). La C est fausse, on p eut par exemple imaginer un mouv emen t re tiligne a éléré dans le sens de ⃗ ur . La D est fausse, on a en réalité ∥⃗ v∥2 = ˙ x2 + ˙ y2 + ˙ z2 3-C. Au départ, on est dans la as statique : la aisse est statique. On a don ⃗ F + ⃗ RT = 0 selon l'horizon tale, et ⃗ P + ⃗ RN = 0 selon la v erti ale. On a don RT = F tan t que la aisse est statique. La rép onse D est don fausse. D'autre part, les lois du frottemen t solide donnen t RT /RN < ks tan t que la aisse est statique, et elle- i se met à glisser p our RT /RN = ks , 'est à dire RT = F = ksRN = mgks . A partir de là, on doit utiliser les lois du frottemen t solide dynamique, qui donnen t immédiatemen t RT /RN = kd . Or la aisse est toujours sans mouv emen t selon la v erti ale, d'où RN = mg . On a don RT = kdmg dès que la aisse se met à glisser. Don B est fausse, et A égalemen t, ar les lois du frottemen t dynamique s'appliquen t dès qu'il y a glissemen t. 4-D. Comme Helen M Arth ur reste en surfa e, ˙ R = 0 , l'expression en o ordonnées sphérique s'é rit don ⃗ v = R cosΦ ˙ λ ⃗ uλ + R ˙ Φ ⃗ uΦ (v oir ours). 5-A. On onnait la p osition en fon tion du temps. On p eut don la dériv er 2 fois p our obtenir l'a élération. Cela donne ⃗ γ = −aω2 cos(ωt) ⃗ i −bω2 sin(ωt)⃗ j . Le prin ip e fondamen tal de la dynamique donne ensuite ⃗ F = m⃗ γ . En onsidéran t les p ositions à t1 = 0 et t2 = π 2ω , on onstate que a > b. A es temps t1 et t2 , on a ⃗ F(t1) = −aω2⃗ i , et ⃗ F(t2) = −bω2⃗ j . La seule rép onse p ossible est don A. 6-D. La ondition de non glissemen t est donnée par RT /RN < ks . Si le TGV ne glisse pas, on a ⃗ P + ⃗ RT + ⃗ RN = 0 . Cette relation pro jetée sur les axes parallèle et p erp endi ulaire à la p en te donne RT = mg sin α et RN = mg cos α . La ondition de non-glissemen t s'é rit don tan α < ks , d'où tan α0 = ks = 0.2 . 1 7-B. Au départ, la p omme subit surtout son propre p oids, puisque la vitesse est faible, et don la for e de frottemen t de l'air égalemen t. La p omme est don a élérée et sa vitesse augmen te. Mais plus sa vitesse augmen te, plus la for e de frottemen t devien t imp ortan te. La vitesse augmen te don moins vite qu'au départ. Au b out d'un momen t, la p omme v a atteindre une vitesse p our laquelle la for e de frottemen t de l'air omp ense exa temen t son p oids. A partir de là, la somme des for e exterieure est n ulle, la vitesse de la p omme reste onstan te. La rép onse B est la seule qui orresp onde à e i. On p eut aussi résoudre le problème analytiquemen t (v oir TD 3), ela donne l'équation diéren tielle ¨ z + K m ˙ z = g , d'où ˙ z = mg K (1 −e−m K t) . 8-B. Comme la longueur ℓ du l reste onstan te, l'a élération de m en o ordonnées p olaires s'é rit ⃗ γ = −ℓ˙ θ2 ⃗ ur + ℓ¨ θ ⃗ uθ . On a don ⃗ γ. ⃗ ur < 0 , e qui élimine les rép onses C et A. ¨ θ n'est pas n ul, puisque ˙ θ v arie, don D est fausse. 9-A. Comme ⃗ v est onstan t, on a ⃗ γ = 0 , et don ⃗ Rx+ ⃗ Rz + ⃗ P = 0 . En pro jetan t ette relation sur l'axe parallèle à ⃗ Rx et sur l'axe parallèle à ⃗ Rz , on obtien t Rx = mg sin θp , et Rz = mg cos θp . On en déduit f = Cz/Cx . Un planeur a v e une b onne nesse a une grande p ortan e et une trainée faible. 10-A. La b ouée subit son p oids et la p oussée d'Ar himède, 'est à dire la for e ⃗ Fbouee = 4 3πR3(ρmer −ρair)⃗ k dirigée v ers le haut. Le ub e de b éton, lui, subit son p oids et la p oussée d'Ar himède, 'est à dire la for e ⃗ Fcube = −a3(ρbet −ρmer)⃗ k dirigée v ers le bas. L'ensem ble est immergé si Fcube > Fbouee , 'est à dire si a3 > 4 3πR3(ρmer −ρair)/(ρbet −ρmer) . 11-B. En iden ti an t la vitesse donnée a v e l'expression générale en o ordonnées p olaires, on a ˙ r = −ǫβr0 sin(βt) et r ˙ θ = ar0(1 + ǫ cos(βt)) . A v e les onditions initiales, la première relation in tégrée donne r(t) = r0(1+ǫ cos(βt)) ; la se onde relation in tégrée a v e les onditions initiales donne don θ(t) = at. La omp osan te radiale de la for e est donnée pas lé relation fondamen tale de la dynamique : Fr = mγr = m(¨ r −r ˙ θ2) . Cela donne l'expression B. 12-A. Notons T la tension de la orde. La relation fondamen tale de la dynamique appliquée à m1 donne m1¨ x1 = T −kx1 . En prenan t un axe v erti al y orien té v ers le bas, la relation fondamen tale de la dynamique appliquée à m2 donne m2¨ y2 = m2g −T . Comme la orde reste tendue, on a ¨ y2 = ¨ x1 . En éliminan t T dans les 2 équations, on a alors la rép onse A. 13-D. P our par ourir les derniers 400m (distan e L), le skieur A met le temps tA = L vA = 50s . Le skieur B subit une a élération de −γB ; sa vitesse à un instan t quel onque est don vB(t) = vB0 −γBt . Ainsi, en un temps dt , le skieur B par ourt la dis tan e dx = vB(t)dt . En in tégran t e i sur la distan e de 400m , on a L = vB0tB −γB 2 t2 B . A v e les v aleurs n umériques, on met e i sous la forme 0.04t2 B −8tB +400 = 0 , soit (0.2tB −20)2 = 0 , 'est à dire tB = 100s . L'é art en tre les 2 on urren ts est don de 50s . 14-D. On p eut a v an t tout éliminer la rép onse B, ar la présen e de l'exp onen tielle p ositiv e donne des vitesses in nies. Les 3 autres rép onses donnen t bien θ(0) = θ0 , mais seule la rép onse D satisfait la ondition ˙ θ(0) = 0 . Il est aussi p ossible de trouv er dire temen t la rép onse en résolv an t l'équation diéren tielle. 2 uploads/Geographie/ correction-qcm-2007.pdf

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Administrationdonne vitesse relation frottemen aisse
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