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Chapitre B-VI Cinématique relativiste. Joël SORNETTE met ce cours à votre dispo

Chapitre B-VI Cinématique relativiste. Joël SORNETTE met ce cours à votre disposition selon les termes de la licence Creative Commons : – Pas d’utilisation commerciale. – Pas de modiﬁcation, pas de coupure, pas d’intégration à un autre travail. – Pas de communication à autrui sans citer son nom, ni en suggérant son autorisation. Retrouvez l’intégralité du cours sur le site joelsornette.fr 1 RÉSUMÉ : On commence par un rappel historique : les premières mesures de la vitesse de la lu- mière, la publication des équations de Maxwell qui montrent le caractère électromagnétique de la lumière, le problème qu’elles posent par sa vitesse qui ne peut pas être la même dans tous les référentiels galiléens, la recherche du référentiel privilégié que serait l’« éther », l’ex- périence de Michelson et Morley dont le résultat négatif a ouvert la voie vers la découverte par Einstein de la théorie de la relativité. On verra qu’on ne peut résoudre le problème évoqué ci-dessus qu’en abandonnant l’idée d’un temps absolu. On montrera ensuite comment, en partant de l’invariance de la vitesse de la lumière, on arrive à gérer le changement de référentiel galiléen par la matrice de Lorentz. On étudiera les premières conséquences : contraction des longueurs et dilatation du temps que l’on retrouvera par une méthode graphique (diagrammes de Minskowski, variante Loedel). Enﬁn on introduira les quadrivecteurs pour construire une physique relativiste ; en par- ticulier on déﬁnira le quadivecteur vitesse et l’on en déduira la loi relativiste de composition des vitesses. En guise d’ouverture vers des horizons plus larges, on s’intéressera à la transformation d’une onde plane progressive et l’on trouvera les formules relativistes de l’eﬀet Doppler et de l’aberration. Il pourra être utile, du côté mathématique, de se rafraîchir la mémoire sur les matrices unitaires. 2 Table des matières B-VI Cinématique relativiste. 1 1 La genèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.a La vitesse de la lumière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.b Les équations de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.c L’éther. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.d L’expérience de Michelson et Morley. . . . . . . . . . . . . . . 7 1.e Marche d’approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Les postulats et les remises en question. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.a Les postulats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.b L’apparente contradiction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.c La synchronisation des horloges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.d La relativité du temps et des longueurs. . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Le formalisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.a Le cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.b Evénements et intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.c La matrice de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.d Quadrivecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Conséquences immédiates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.a Passé absolu, futur absolu, éloignement absolu. . . . . . . . . . . . 21 4.b Contraction des longueurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.c Dilatation du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.d Le référentiel galiléen tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 5 Représentations graphiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.a L’exemple des diagrammes de Minkowski symétriques (ou dia- grammes de Loedel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.b Représentation graphique de la contraction des longueurs. . . . . 29 5.c Représentation graphique de la dilatation du temps. . . . . . . . . 30 6 Vers une cinématique relativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.a Quadrivecteur vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.b Composition des vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.c Le cas des ondes planes progressives. . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 1 La genèse. 1.a La vitesse de la lumière. La première mesure de la vitesse de la lumière a été réalisée par l’astronome Römer en 1676 par une constatation astronomique. Io, satellite de Jupiter passe régulièrement dans l’ombre de celui-ci (occultation) ; or ces passages sont observés en avance quand la Terre est proche de Jupiter (conjonction) et en retard quand la Terre est éloignée (oppo- sition) ; Römer comprit que ces écarts entre positions extrêmes étaient dus au temps de propagation de la lumière sur une distance égale au diamètre de l’orbite terrestre (voir ﬁgure 1 p. 5, due à Römer lui-même ; A est le Soleil, B Jupiter, D et C les positions d’Io en début et ﬁn d’occultation, E, F, G, H, K et L diﬀérentes positions possibles de la Terre sur son orbite, plus ou moins éloignées de Jupiter, H est la plus proche, E la plus éloignée). Compte tenu de la faible précision des mesures, il obtint un résultat nettement sous-évalué mais du bon ordre de grandeur (2, 2 · 108 m/s). Figure 1 – Les occultations d’Io. La seconde mesure fut réalisée en 1849 par Fizeau par une méthode astucieuse : une roue dentée à N dents est mise en rotation, un mince pinceau de lumière traverse la roue perpendiculairement au niveau de ses dents et se réﬂéchit sur un miroir placé à une distance D ; si pendant l’aller-retour, la roue a tourné de 1 2 N tour, équivalent à la moitié d’un intervalle entre dents, le faisceau qui avait traversé la roue dans l’espace entre deux dents, rencontre une dent et est donc occulté. La vitesse de rotation provoquant l’occultation est 5 donc, en tour par unité de temps : ω = 1 2 N 2 D c = c 4 N D Le principe est simple mais aﬁn que la vitesse de rotation restât raisonnable (inférieure à 1000 tr/min), il lui a fallu placer le miroir à près de 9 km ! La valeur trouvée par Fizeau (3, 1 · 108 m/s) est très proche de la valeur actuellement admise. Depuis 1983, la vitesse de la lumière a été ﬁxée à 299 792 458 m/s, l’unité de temps a une déﬁnition potentiellement variable et le mètre est déﬁni à partir de celle-ci de uploads/Geographie/ b-vi-cinematique-relativiste.pdf