Ecole Nationale des Ing enieurs de Tunis 2 eme ann ee G enie M ecanique An

Ecole Nationale des Ing enieurs de Tunis 2 eme ann ee G enie M ecanique Ann ee universitaire 2014/2015 Probabilit e & Statistiques Correction de la s erie 1 Exercice 1. Dans une salle de jeux, il y a 3 machines M1, M2 et M3. Les deux premi eres machines permettent de gagner avec des probabilit es respectives 1 3 et 1 4, la troisi eme est d etraqu ee et fait perdre  a coup s^ ur. Un joueur choisit une machine au hasard. 1. Calculer la probabilit e pour qu'il perde au premier coup. 2. Ayant perdu deux fois de suite, quelle est la probabilit e d'avoir jou e avec la machine M3? Correction Exercice 1. = M1 [ M2 [ M3 M1; M2; M3 sont deux  a deux disjoints et donc ils forment un SCE Soient les  ev enements suivants: Ai : "Jouer avec la machine Mi" avec i = 1; 2; 3 G : "Gagner"  G : "Perdre" 1. P(  G) = 1 P(G) P(G) = P(G=A1)P(A1)+P(G=A2)P(A2)+P(G=A3)P(A3) = 1 3 1 3+ 1 4 1 3+0 1 3 = 7 36 P(  G) = 1 7 36 = 29 36 2. Soient les  ev enements suivants:  G1 : "Perdre  a la premi ere fois"  G2 : "Perdre  a la deuxi eme fois" P(A3=  G1 \  G2) = P(  G1 \  G2=A3):P(A3) 3 P i=1 P(  G1 \  G2=Ai):P(Ai) P(  G1 \  G2=A1) = 2 3  2 3 = 4 9 P(  G1 \  G2=A2) = 3 4  3 4 = 9 16 P(  G1 \  G2=A3) = 1  1 = 1 P(A3=  G1 \  G2) = 1  1 3 4 9  1 3 + 9 16  1 3 + 1  1 3 = 144 289 ' 0:5 1 Exercice 2. Dans la coupe de Tunisie de football, une  equipe E de premi ere division estime qu'elle gagnera si elle rencontre une  equipe de seconde division et qu'elle a une chance sur deux de gagner si c'est une  equipe de premi ere division. Sachant que la proportion d' equipes de seconde division engag ee en coupe est p, calculer la probabilit e que E ait rencontr e une  equipe de seconde division, sachant qu'elle a remport e le match. Correction Exercice 2. Soient les  ev enements suivants: R1 : "L' equipe E rencontre une  equipe de premi ere division" R2 : "L' equipe E rencontre une  equipe de seconde division" G : "Gagner" = R1 [ R2 et R1 \ R2 = ? R1 et R2 forment un SCE P(R2=G) = P(G=R2):P(R2) 2 P i=1 P(G=Ri):P(Ri) = P(G=R2):P(R2) P(G=R1):P(R1) + P(G=R2):P(R2) = 1  p 1 2  (1 p) + 1  p = 2p 1 + p Exercice 3. Dans une population, il y a 60% d'hommes et 40% de femmes. 80% des hommes fument et 70% des femmes fument. 1. Quelle est la proportion de fumeurs dans la population ? 2. On tire au hasard une personne de la population. Quelle est la probabilit e que ce soit un homme sachant que la personne tir ee fume ? Correction Exercice 3. Soient: H : "Homme" F : "Femme" f : "Fume" = H [ F et H \ F = ? H et F forment un SCE 1. P(f) = P(f \ H) + P(f \ F) = P(f=H):P(H) + P(f=F):P• (F) = 0:8  0:6 + 0:7  0:4 = 0:76 2. P(H=f) = P(f=H):P(H) P(f=H):P(H) + P(f=F):P(F) = 0:8  0:6 0:8  0:6 + 0:7  0:4 = 0:63 Exercice 4. 2 On consid ere trois  etudiants qui passent un examen de n d'ann ee, et on note les  ev enements suivants, pour i = 1; 2; 3: Soient les  ev enements Ai et Ri avec Ai : "L' etudiant num ero i est Admis" Ri : "L' etudiant num ero i est Refus e" Connaissant leurs r esultats et leur travail pendant l'ann ee, on retient les probabilit es suivantes : P(A1) = 0; 8 ; P(A2) = 0; 9 ; P(A3) = 0; 2 1. Calculer P(Ri) pour i = 1; 2; 3 2. On admet que les  ev enements A1; A2; A3 sont ind ependants. Calculer la proba- bilit e des  ev enements suivants E1 : Les trois  etudiants sont admis E2 : Aucun des  etudiants n'est admis E3 : Un seul est admis Correction Exercice 4. 1. P(R1) = 1 P(A1) = 1 0:8 = 0:2 P(R2) = 1 P(A2) = 1 0:9 = 0:1 P(R3) = 1 P(A3) = 1 0:2 = 0:8 2. E1 = A1 \ A2 \ A3 P(E1) = P(A1 \ A2 \ A3) = P(A1):P(A2):P(A3) = 0:8  0:9  0:2 = 0:144 E2 = R1 \ R2 \ R3 P(E2) = P(R1 \ R2 \ R3) = P(R1):P(R2):P(R3) = 0:2  0:1  0:8 = 0:016 E3 = (A1 \ R2 \ R3) [ (R1 \ A2 \ R3) [ (R1 \ R2 \ A3) P(E3) = P [(A1 \ R2 \ R3) [ (R1 \ A2 \ R3) [ (R1 \ R2 \ A3)] = P (A1 \ R2 \ R3) + P (R1 \ A2 \ R3) + P (R1 \ R2 \ A3) = P (A1):P(R2):P(R3) + P (R1):P(A2):P(R3) + P (R1):P(R2):P(A3) = 0:8  0:1  0:8 + 0:2  0:9  0:8 + 0:2  0:1  0:2 = 0:212 Exercice 5. Calculer la probabilit e d'avoir exactement 2 curs et un valet en tirant 8 cartes d'un jeu de 32 cartes. Correction Exercice 5. Les 32 cartes comprennent exactement 8 > > < > > : 8 coeurs (dont 1 valet) 8 tr e es (dont 1 valet) 8 piques (dont 1 valet) 8 carreaux (dont 1 valet) 3 En tirant 8 cartes, le nombre de combinaisons possibles de cartes qu'on peut avoir est Card = C8 32 Soit l' ev enement A : "On a exactement 2 coeurs et 1 valet" On doit ici distinguer entre deux cas : Si le valet est coeur et Si le valet n'est pas coeur Soient les  ev enements : A1 : " On a 1 valet coeur, 1 coeur non valet et 6 autres cartes qui ne sont ni valet ni coeur" A2 : " On a 2 coeurs non valet, 1 valet non coeur et 5 autres cartes qui ne sont ni valet ni coeur"  Si le valet est coeur: A est r ealis e si l' ev enement A1 est r ealis e Card A1 = C1 1  C1 7  C6 21  Si le valet n'est pas coeur A est r ealis e si l' ev enement A2 est r ealis e Card A2 = C2 7  C1 3  C5 21 D'o u P(A) = Card A Card = CardA1 + CardA2 Card = C1 1  C1 7  C6 21 + C2 7  C1 3  C5 21 C8 32 = 1  7  54 264 + 21  3  20 349 10 518 300 = 0:158 Exercice 6. Soient les  ev enements suivants: N : "La famille a des enfants des deux sexes" M : "la famille a des enfants du m^ eme sexe" F : "la famille a au plus une lle" S : "la famille a une seule lle" Calculer les probabilit es des  ev enements N; M; F et S. Etudier l'ind ependance de N et F dans le cas o u la famille a deux enfants. Correction Exercice 6. Soient : G : "Gar con" F : "Fille" En tenant compte de l'^ age des enfants, une famille ayant 2 enfants peut avoir les combinaisons suivantes : fGG; GF; FG; FFg o u GG : le plus ^ ag e des enfants est un gar con et le moins ^ ag e est un garcon 4 GF : le plus ^ ag e des enfants est un gar con et le moins ^ ag e est une lle FG : le plus ^ ag e des enfants est une lle et le moins ^ ag e est un gar con FF : le plus ^ ag e des enfants est une lle et le moins ^ ag e est une lle P(N) = P(GF [ FG) = P(GF) + P(FG) = 1 2  1 2 + 1 2  1 2 = 1 2 P(M) = P(GG [ FF) = P(GG) + P(FF) = 1 2  1 2 + 1 2  1 2 = 1 2 P(F) = P(GG[GF [FG) = P(GG)+P(GF)+P(FG) = 1 2  1 2 + 1 2  1 2 + 1 2  uploads/Geographie/ correction-serie-1.pdf

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