Corrigé de l'examen nal du module CFD et Logiciels-2021 Exercice n°1 : 1. La CF

Corrigé de l'examen nal du module CFD et Logiciels-2021 Exercice n°1 : 1. La CFD est une science qui à pour objet l'étude de la dynamique des uides par le biais de l'outil numérique.(0.5 pts) 2. a) ϕ est une propriété physique du uide qui dépend du temps et de l'espace et qui véri e les lois de conser- vation de la physique. ϕ peut représenter la vitesse ou la température par exemple. (0.5 pts) b) Γ est le coe cient de diusion associé à la propriété physique ϕ (0.5 pts) c) A est le terme instationnaire, B est le terme convectif, C est le terme de diusion, D est le terme source. (1.0 pt) d) L'équation de conservation de la quantité de mouvement (0.5 pts) Exercice n°2 : 1. Divisez le domaine en 12 volumes de contrôle uniformes avec ∆x = ∆y = 0, 1m en les numérotant de gauche à droite et de bas en haut. (1.0 pt) Figure 1  Discrétisation du Domaine géométrique 2. L'intégration de l'équation diérentielle sur un volume de contrôle quelconque donne : ZZZ V C ∂ ∂x(k ∂T ∂x )dV + ZZZ V C ∂ ∂y (k ∂T ∂y )dV = ZZZ V C QdV (1) L'élément dV = dxdydz, l'intégrale précédente s'écrit donc : Z ε 0 dz Z n s dy Z e w ∂(k ∂T ∂x ) + Z ε 0 dz Z w e dx Z n s ∂(k ∂T ∂y ) = Q Z e w dx Z n s dy Z ε 0 dz (2) soit : ε∆y Z e w ∂(k ∂T ∂x ) + ε∆x Z n s ∂(k ∂T ∂y ) = Qε∆y∆x (3) Après intégration l'équation précédente s'écrit comme suit : ε∆y[k dT dx ]e | {z } 1 −ε∆y[k dT dx ]w | {z } 2 + ε∆x[k dT dx ]n | {z } 3 −ε∆x[k dT dx ]s | {z } 4 = Qε∆y∆x (4) Appliquons maintenant l'équation 4 pour tous les n÷uds du domaine géométrique : ˆ n÷ud 1 en remarquant que −k ∂T ∂x = q1 au niveau de la frontière Ouest et −k ∂T ∂y = 0 au niveau de la frontière Sud nous obtenons : ε k∆y ∆x [T2 −T1] + ε∆yq1 + ε k∆x ∆y [T5 −T1] + 0 = Qε∆x∆y Sachant que ∆x = ∆y l'équation précédente s'écrit : εk[T2 −T1] + εk[T5 −T1] = Qε∆x∆y −ε∆yq1 Application numérique : εk = 10−2.390 = 3.9 , Qε∆x∆y = 5.103.10−2.10−1.10−1 = 0.5 et ε∆yq1 = 10−2.10−1.200 = 0.2 Nous obtenons donc pour le n÷ud 1 −7.8T1 + 3.9T2 + 3.9T5 = 0.3(1.0 pt) (5) 1 ˆ n÷ud 2 3.9[T3 −T2] −3.9[T2 −T1] + 3.9[T6 −T2] = 0.5 soit : 3.9T1 −11.7T2 + 3.9T3 + 3.9T6 = 0.5(1.0 pt) (6) ˆ n÷ud 3 3.9[T4 −T3] −3.9[T3 −T2] + 3.9[T7 −T3] −2(3.9)TB = 0.5 soit 3.9T2 −19.5T3 + 3.9T4 + 3.9T7 = −389.5(1.0 pt) (7) ˆ n÷ud 4 3.9T3 −15.6T4 + 3.9T8 = 0.5(1.0 pt) (8) ˆ n÷ud 5 3.9T1 −11.7T5 + 3.9T6 + 3.9T9 = 0.3(1.0 pt) (9) ˆ n÷ud 6 3.9T2 + 3.9T5 −15.6T6 + 3.9T7 + 3.9T10 = 0.5(1.0 pt) (10) ˆ n÷ud 7 3.9T3 + 3.9T6 −15.6T7 + 3.9T8 + 3.9T11 = 0.5(1.0 pt) (11) ˆ n÷ud 8 3.9T4 + 3.9T7 −11.7T8 + 3.9T12 = 0.6(1.0 pt) (12) ˆ n÷ud 9 3.9T5 −15.6T9 + 3.9T10 = −1559.7(1.0 pt) (13) ˆ n÷ud 10 3.9T6 + 3.9T9 −19.5T10 + 3.9T11 = −1559.5(1.0 pt) (14) ˆ n÷ud 11 3.9T7 + 3.9T10 + 3.9T12 −11.7T11 = 0.5(1.0 pt) (15) ˆ n÷ud 12 3.9T8 + 3.9T11 −7.8T12 = 0.6(1.0 pt) (16) 3. Assemblage des équations de tout les n÷uds sous forme matricielle (4.0 pts) :                     −7.8 3.9 0 0 3.9 0 0 0 0 0 0 0 3.9 −11.7 3.9 0 0 3.9 0 0 0 0 0 0 0 3.9 −19.5 3.9 0 0 3.9 0 0 0 0 0 0 0 3.9 −15.6 0 0 0 3.9 0 0 0 0 3.9 0 0 0 −11.7 3.9 0 0 3.9 0 0 0 0 3.9 0 0 3.9 −15.6 3.9 0 0 3.9 0 0 0 0 3.9 0 0 3.9 −15.6 3.9 0 0 3.9 0 0 0 0 3.9 0 0 3.9 −11.7 0 0 0 3.9 0 0 0 0 3.9 0 0 0 −15.6 3.9 0 0 0 0 0 0 0 3.9 0 0 3.9 −19.5 3.9 0 0 0 0 0 0 0 3.9 0 0 3.9 −11.7 3.9 0 0 0 0 0 0 0 3.9 0 0 3.9 −7.8                                         T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12                     =                     0.3 0.5 −389.5 0.5 0.3 0.5 0.5 0.6 −1559.7 −1559.5 0.5 0.6                     2 uploads/Geographie/ corrige 17 .pdf

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