Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Olympiades Nationales de Mathématiques 2020 Sélections régionales 1er tour Nive

Olympiades Nationales de Mathématiques 2020 Sélections régionales 1er tour Niveau 7C Corrigé proposé par AMIMATHS 1/4 Barème : 1) 2 A 4 3 A 3 n A 2 2) M(x)M(y) M(x y) = + 4 b) M(x) 3 ( ) n M(x) 2 Présentation, rédaction et idées 2 Olympiades Nationales de Mathématiques 2020 Sélections régionales 1er tour Niveau 7C 26 janvier 2020 Corrigé proposé par AMIMATHS Enoncé de l’Exercice 1 On donne la matrice: 0 1 0 A 0 0 1 0 0 0     =       A tout réel x on associe la matrice 2 2 3 1 M(x) I xA x A 2 = + + 1) Calculer 2 A et 3 A et en déduire, pour tout entier n 3 > , la valeur de n A . 2) Montrer que M(x)M(y) M(x y) = + . 3) Soit n un entier naturel. Ecrire les matrices M(x) et ( ) n M(x) sous forme de tableaux. Corrigé de l’Exercice 1 : 1) 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 A 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           = =                et 3 3 3 0 0 1 0 1 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           = = ⇒ =                Pour tout entier n 3 > , on a n 3 n 3 n 3 3 3 A A A 0 A 0 − − = × = × = . 2) On a 2 2 2 2 3 3 1 1 M(x)M(y) I xA x A I yA y A 2 2    = + + + +       donc 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 4 3 1 1 1 1 1 M(x)M(y) I yA y A xA xyA xy A x A x yA x y A 2 2 2 2 4 = + + + + + + + + or 3 4 3 A A 0 = = , d’où 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 M(x)M(y) I yA y A xA xyA x A I (x y)A x xy y A 2 2 2 2   = + + + + + = + + + + +     ( ) 2 2 3 1 M(x)M(y) I (x y)A x y A M(x y) 2 ⇒ = + + + + = + 3) 2 2 2 2 3 x x 0 0 1 x 1 0 0 0 x 0 2 2 1 M(x) I xA x A 0 1 0 0 0 x 0 0 0 0 1 x 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1                         = + + = + + =                             ( ) 2 2 1 2x 2x M(x) M(x)M(x) M(2x) 0 1 2x 0 0 1     = = =       . On a ( ) ( ) n n 1 M(x) M(x) M(x) − = , on démontre alors par récurrence que ( ) 2 2 n 1 1 nx n x 2 M(x) M(nx) 0 1 nx 0 0 1       = =         . Olympiades Nationales de Mathématiques 2020 Sélections régional Enoncé de l’Exercice 2 Soit et ′ Γ Γ deux cercles qui se coupent en A et B. Les tangentes en A à respectivement ′ Γ et Γ en D et C et la droite B. On se propose de montrer que la droite 1) Soit N le point d’intersection de 2) Déterminer la nature du quadrilatère Corrigé de l’Exercice 2 1) En appliquant le théorème de la tangente avec celui de la cocyclicité sur on trouve ( ) ( ) [ ] AC,AN BA,BN AN,AC BN,BA = π ⇒ ( ) ( ) ( ) ( AN,CD AN,CM AN,AC AC,CM BN,BA BA,BM = = + = + π ( ) ( ) ( ) [ AN,CD BM,BA BA,BM AN,CD 0 ⇒ = + π Donc ( ) AN est parallèle à ( ) CD . 2) En appliquant le théorème de la tangente avec celui de la cocyclicité sur Γ on trouve ( ) ( ) [ ] ( AD,AM BA,BM AM,AD BM,BA = π ⇒ d’où : ( ) ( ) ( AM,DN AM,AD AD,DN BM,BA BA,BN = + = + π ( ) [ ] AM,DN 0 ⇒ = π alors les droites également parallèles. D’où AMDN est un ont le même milieu donc la droite (MB Enoncé de l’Exercice 3 On considère dans ℂ, les complexes 1) Montrer que ( ) 2 1 2 1 2 z z z z + est un réel positif ou nul. 2) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonorm d’affixes respectives a et b (on suppose que les points O, A et B ne sont pas alignés). Calculer en fonction de a et b l’affixe z du point I barycentre du système 3.a) A l’aide de la question 1), montrer que b) Exprimer argz en fonction de c) En déduire que OI est un vecteur directeur de la bissectrice de l’angle Corrigé de l’Exercice 3 1) ( ) ( ) ( 2 2 i i 1 2 i i i 1 2 2cos e e e 2 z z z z 2 e e e α β α β α+β   α −β       + +     = = = donc c’est un réel positif ou nul. 2) ( ) ( ) { } a b b a I bar A, b ; B, a z a b + = ⇔ = + 3. a) 2 2 2 2 a b b a a b a b a b a b a b b a a b z z z a b ab ab ab ab a b a b a b       + + +         +       = ⇒ = = ×     +   Sélections régionales 1er tour Niveau 7C Corrigé proposé par AMIMATHS Barème : 1) ( ) AN,CD 2) Nature AMDN Conclusion Présentation, rédaction et idées Barème 1) 2) 3) a) b) c) Présentation, rédaction et idées deux cercles qui se coupent en A et B. Les tangentes en A à en D et C et la droite ( ) CD recoupe le cercle Γ en un point M différent de B. On se propose de montrer que la droite ( ) MB passe par le milieu du segment le point d’intersection de( ) BM avec ′ Γ . Donner une mesure de l’angle Déterminer la nature du quadrilatère AMDN puis conclure. Corrigé de l’Exercice 2 : En appliquant le théorème de la tangente avec celui de la cocyclicité sur ′ Γ ( ) ( ) [ ] AC,AN BA,BN AN,AC BN,BA ⇒ = π , d’où : ) ( ) ( ) [ ] AN,CD AN,CM AN,AC AC,CM BN,BA BA,BM = = + = + π [ ] ( ) [ ] AN,CD BM,BA BA,BM AN,CD 0 = + π ⇒ = π uploads/Geographie/ corrigeolympiades-7-c-t1-m2020.pdf