Trigonom´ etrie et fonctions trigonom´ etriques 2nde I - Cercle trigonom´ etriq

Trigonom´ etrie et fonctions trigonom´ etriques 2nde I - Cercle trigonom´ etrique - Mesure des angles orient´ es D´ efinition Dans le plan muni d’un rep` ere  O;⃗ i,⃗ j  , le cercle trigonom´ etrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi : – un sens direct, ou sens positif, sens inverse des aiguilles d’une montre – un sens indirect, ou sens n´ egatif, sens des aiguilles d’une montre. O ⃗ i ⃗ j + - D´ efinition Sur le cercle trigonom´ etrique, la mesure en radians d’un angle orient´ e est ´ egale ` a la mesure alg´ ebrique (avec un signe) de l’arc intercept´ e. Exemple : Un tour complet, soit 360◦, mesure 2π radians. L’angle orient´ e  ⃗ i,⃗ j  mesure 2π 4 = π 2 radians (1/4 de tour). L’angle orient´ e  ⃗ j,⃗ i  mesure −π 2 radians. On parle d’une mesure de l’angle orient´ e car il en poss` ede une infinit´ e : l’angle orient´ e  ⃗ i,⃗ j  mesure π 2 rad, π 2 + 2π = 5π 2 rad, 5π 2 + 2π = 9π 2 rad,. . ., π 2 −2π = −3π 2 rad,. . . Exercice 1 Compl´ eter : × . . . Degr´ es 0 30 45 60 90 135 180 360 Radians 0 × . . . Degr´ es 1 −15 20 270 Radians 1 167π 4 7π 3 D´ efinition La mesure principale d’un angle orient´ e est la mesur de cet angle appartenant ` a l’inter- valle ] −π; π]. Exemple : L’angle orient´ e  ⃗ j,⃗ i  a plusieurs mesures : 3π 2 , −π 2 , 3π 2 + 2π = 7π 2 ,. . . Sa mesure principale est −π 2 . Exercice 2 D´ eterminer la mesure principale des angles orient´ es suivants : a) 17π b) 9π 2 c) 7π 3 d) −11π 6 e) 9π 8 f) 15π 2 g) 26π 4 h) −13π 5 Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/2nde/ Trigonom´ etrie et fonctions trigonom´ etriques - 2nde - 1/4 II - Cosinus et sinus d’un angle orient´ e Exercice 3 1. ABCD est un carr´ e de cˆ ot´ e 1. Calculer la longueur AC, puis en d´ eduire les valeurs exactes de cos π 4 et sin π 4 . A B C D 2. RST est un triangle ´ equilat´ eral de cˆ ot´ e 1. Calculer la longueur TI, en d´ eduire les valeurs exates de cos π 6 , sin π 6 , cos π 3 et sin π 3 . T R S I D´ efinition Soit M un point du cercle trigonom´ etrique, et x une mesure de l’angle orient´ e  ⃗ i, − − → OM  . – Le cosinus de x, not´ e cos x, est l’abscisse de M. – Le sinus de x, not´ e sin x, est l’ordonn´ ee de M. O ⃗ i ⃗ j • M x cos x sin x Angles remarquables x 0◦ 0 rad 30◦ π 6 rad 45◦ π 4 rad 60◦ π 3 rad 90◦ π 2 rad sin x 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 cos x 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 (sin) (cos) 1 1 O • π 6 √ 3 2 1 2 • π 4 √ 2 2 √ 2 2 • π 3 1 2 √ 3 2 Propri´ et´ e Pour tout r´ eel x : • −1 ⩽cos x ⩽1 • −1 ⩽sin x ⩽1 • cos2 x + sin2 x = 1 (en notant cos2 x = (cos x)2 et sin2 x = (sin x)2) Exercice 4 En pla¸ cant les angles sur le cercle trigonom´ etrique et en s’aidant de sym´ etries, donner les valeurs exactes de : a) cos(3π) b) cos  −π 2  c) cos 3π 4  d) cos 5π 4  e) cos  −π 3  f) cos 2π 3  g) cos 5π 6  h) cos  −3π 4  i) sin 4π 3  Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/2nde/ Trigonom´ etrie et fonctions trigonom´ etriques - 2nde - 2/4 III - ´ Equations trigonom´ etriques Exercice 5 En s’aidant du cercle trigonom´ etrique, r´ esoudre sur ] −π; π] les ´ equations suivantes : a) cos x = cos π 6  b) sin x = sin 2π 3  c) cos x = −1 2 d) cos x = − √ 2 2 e) sin(2x) = √ 3 2 f) cos  3x + π 4  = √ 2 2 g) cos2 x = 1 4 h) sin2 x = 1 2 IV - Fonctions sinus et cosinus D´ efinition La fonction cosinus est la fonction, not´ ee cos, qui ` a toutt nombre r´ eel x associe le nombre cos x. De mˆ eme, la fonction sinus est la fonction x 7→sin x, pout x ∈I R. Exercice 6 En s’aidant du cercle trigonom´ etrique, compl´ eter les tableaux de variation des fonctions sinus et cosinus : x −π −π 2 0 π 2 π cos x x −π −π 2 0 π 2 π sin x Exercice 7 Tracer les courbes repr´ esentatives des fonctions cosinus et sinus ` a l’aide des tableaux de variation pr´ ec´ edents, des valeurs remarquables des sinus et cosinus, et ´ eventuellement de la calculatrice. Exercice 8 En utilisant les courbes trac´ ees dans l’exercice pr´ ec´ edent et/ou le cercle trigonom´ etrique, compl´ eter : a) Si π 6 ⩽x ⩽π 3 , alors . . . ⩽cos x ⩽ . . . et . . . ⩽sin x ⩽ . . . b) Si −π 6 ⩽x ⩽π 3 , alors . . . ⩽cos x ⩽ . . . et . . . ⩽sin x ⩽ . . . c) Si π 6 ⩽x ⩽2π 3 , alors . . . ⩽cos x ⩽ . . . et . . . ⩽sin x ⩽ . . . Propri´ et´ e Pour tout r´ eel x, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x. Les fonctions x 7→cos x et x 7→sin x sont p´ eriodiques de p´ eriode 2π. Les courbes repr´ esentatives des fonctions sinus (sinuso¨ ıde) et cosinus (cosinuso¨ ıde) sont in- chang´ ees par translation de vecteur 2π⃗ i. O −2π −3π 2 −π −π 2 π 2 π 3π 2 2π y = sin x Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/2nde/ Trigonom´ etrie et fonctions trigonom´ etriques - 2nde - 3/4 O −2π −3π 2 −π −π 2 π 2 π 3π 2 2π y = cos x Exercice 9 Soit f la fonction p´ eriodique de p´ eriode 1 d´ efinie par f(t) = −2t + 1 si t ∈[0; 1]. Tracer la repr´ esentation graphique de f sur [−2; 4]. Exercice 10 Soit f la fonction p´ eriodique de p´ eriode 2 d´ efinie par f(t) = t2 si t ∈[−1; 1]. Tracer la repr´ esentation graphique de f sur [−3; 5]. Exercice 11 Soit f la fonction p´ eriodique, de p´ eriode 2, d´ efinie par f(t) = −2t2 + 2 si t ∈[−1; 1]. Dresser le tableau de variations de f sur [−1; 1]. Tracer alors la repr´ esentation graphique de f sur [−3; 5]. Exercice 12 L”´ evolution de la population P d’animaux dans une forˆ et est mod´ elis´ ee par : P(t) = 500 + 50 sin  2πt −π 2  , o` u t est exprim´ e en ann´ ees. 1. Calculer P(0), P 1 2  et P(1). 2. Quelle est la p´ eriode de la fonction P ? 3. Pour quelle valeur de t, la population est-elle ` a son maximum dans la premi` ere ann´ ee ? Quelle est la population maximum ? Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/2nde/ Trigonom´ etrie et fonctions trigonom´ etriques - 2nde - 4/4 uploads/Geographie/ cours-2nde-trigonometrie 1 .pdf

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