BCPST 1 2020-2021 Fiche 8 - Suites réelles Suites récurrentes usuelles Les base

BCPST 1 2020-2021 Fiche 8 - Suites réelles Suites récurrentes usuelles Les bases Exercice 1 — Des suites géométriques pour bien commencer On définit les suites (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N par : ∀n ∈N, un = 5 3 4n+2 , vn = (−3)n2−n et wn = 5(2n+7)2 54n2 . Montrer que les suites (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N sont géométriques et donner leur raison. Exercice 2 — Il suffira de deux termes Soient r et q deux réels. Soient (un)n∈N une suite arithmétique de raison r et (vn)n∈N une suite géométrique de raison q. Expliciter les suites (un)n∈N et (vn)n∈N dans chacun des cas suivants. 1. On suppose que u3 = 6 et u7 = 9. 2. On suppose que v3 = 6 et v14 = 16. 3. On suppose que u0 = 1 et 100 X k=0 uk = 2. Exercice 3 — Somme des termes d’une suite arithmético-géométrique Soit (un)n∈N la suite réelle définie par : ( u0 = 5 ∀n ∈N, un+1 = 3un + 1. Pour tout n ∈N, calculer n X k=0 uk. Exercice 4 — Des suites récurrentes linéaires d’ordre deux Expliciter les suites définies par : 1.      x0 = 11 x1 = 25 ∀n ∈N, 2xn+2 = 3xn+1 + 2xn. 2.      t0 = 11 t1 = 25 ∀n ∈N, 2tn+2 = 5tn. 3.      y0 = 11 y1 = 25 ∀n ∈N∗, 4yn = yn+1 −12yn−1. Lycée Pierre-Gilles de Gennes 1 Adriane Kaïchouh BCPST 1 2020-2021 Sur les épaules d’un géant Un mathématicien et un physicien sont sur une terrasse de café quand un feu se déclare. Le physicien se précipite, attrape un seau, le remplit d’eau et éteint le feu. Le lendemain, un nouveau feu se déclare. Le mathématicien se lève, prend le seau puis le donne au physicien : « Je viens de résoudre le problème en le ramenant à un cas précédemment résolu ! ». Exercice 5 — Récurrences non linéaires Expliciter les suites définies par : 1. u0 = e3, u1 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+2 = √un+1un. 2. v0 = e2 et, pour tout entier naturel n, vn+1 = √vn. 3. w0 = 11, w1 = 25 et, pour tout entier naturel n, 2wn+2 −3wn+1 −2wn = 4. 4. x0 = e11, x1 = e25 et, pour tout entier naturel n, x2 n+2 = x3 n+1x2 n. Exercice 6 — Faites-nous trois pas de danse Expliciter la suite (xn)n∈N définie par : x0 = 11, x1 = 25, et x2 = 2 et, pour tout entier naturel n, xn+3 = 1 3 (xn+2 + xn+1 + xn) . Exercice 7 — Suites récurrentes couplées Soient (xn)n∈N et (yn)n∈N les suites définies par : pour tout entier naturel n, xn+1 = 3xn + yn 4 et yn+1 = xn + 3yn 4 . Expliciter ces suites. Exercice 8 — Il en faut peu pour être arithmétique Soit (un)n∈N la suite définie par : u0 = 1 et ∀n ∈N, un+1 = −1 un + 2. 1. Montrer que l’équation x = −1 x + 2, d’inconnue x réelle, possède exactement une solution, que l’on notera c. 2. Justifier que la suite (un)n∈N est bien définie et que pour tout n ∈N, un ̸= c. 3. Soit (vn)n∈N la suite réelle définie par : pour tout entier naturel n, vn = 1 un −c. Montrer que (vn)n∈N est une suite arithmétique. 4. Expliciter la suite (un)n∈N. 5. La suite (un)n∈N est-elle convergente ? Lycée Pierre-Gilles de Gennes 2 Adriane Kaïchouh BCPST 1 2020-2021 Calculs de limites et d’équivalents Exercice 9 — Des limites en vrac Pour tout entier naturel n non nul, on pose 1. un = p n(n + 1) −n ; 2. vn = 2n −3n 2n + 3n ; 3. wn = 2n + 3n 2  1 n ; 4. xn = n−1 X k=0 (2k + 1) n X k=1 k ; 5. yn = ln(n + 1) −ln(n). Étudier la nature des suites définies par ces expressions. Exercice 10 — Des limites pêle-mêle Étudier la nature de chacune des suites suivantes et donner leur limite éventuelle. 1. (un)n∈N∗= en + 1 en −1  n∈N∗ 2. (vn)n⩾2 = 3n2 −n 1 −n2  n⩾2 3. (wn)n⩾2 = n X k=2 1 3k ! n⩾2 4. (xn)n∈N∗= e 3 n −ln(n)  n∈N∗ Exercice 11 — Centon de limites On définit trois suites par : pour tout n ∈N, un = 3n + sin(n) n2 , vn = n X k=0 1 4k et wn = (−1)n + cos(n) n . Étudier la convergence de ces suites et donner leur limite éventuelle. Exercice 12 — Des limites brelique-breloque Pour tout entier naturel n non nul, on pose 1. u1,n = cos(n) −n ; 2. u2,n = 3 4 n sin(n) ; 3. u3,n = n + sin(n) n2 + 1 ; 4. u4,n = (−1)n ln(n) + sin(n) n ; 5. u5,n = n + (−1)n ln(n) ; 6. u6,n = 1 2 sin(n!) n . Pour tout i ∈J1; 6K, étudier la convergence de la suite (ui,n)n∈N∗. Exercice 13 — Les miscellanées de la convergence Étudier la convergence des suites définies par : pour tout n ∈N∗, 1. un = √ n2 + 3 − √ n2 + 1 ; 2. vn = n cos  1 n  ; 3. wn = cos(n) n ; 4. xn = exp  1 −(−1)n n  . Lycée Pierre-Gilles de Gennes 3 Adriane Kaïchouh BCPST 1 2020-2021 Exercice 14 — Rhapsodie de séries Soit x un réel. Donner la nature des suites (un)n∈N∗et (vn)n∈N∗définies par : ∀n ∈N∗, un = n X k=1 1 √ n + k et vn = n X k=1 1 (n + k)2 . Exercice 15 — Le tout-venant des équivalents Donner un équivalent, ainsi que la nature, des suites définies par : 1. ∀n ∈N, un = n X k=1 k ; 2. ∀n ∈N, un = e √n+2−√n ; 3. ∀n ∈N, un = (n3 −1 + n2) ln(1 + n4) n2 + 1 ; 4. ∀n ⩾3, un = √ n2 + n −1 −n ; 5. ∀n ∈N∗, un = n2 ln  cos  1 n!  ; 6. ∀n ∈N∗, un = √n + 1 −√n −1 ; Exercice 16 — Avec des paramètres Soient a et b deux réels strictement positifs. Déterminer, si elle existent, les limites suivantes. 1. lim n→+∞  1 + a n bn 2. lim n→+∞ ln  cos a n  ln  cos  b n  Exercice 17 — La tactique du gendarme Soit x un réel. Donner la nature des suites (un)n∈N∗, (vn)n∈N∗et (wn)n∈N∗définies par : ∀n ∈N∗, un = ⌊xn⌋ n , vn =  xn2 n et wn = n X k=1 ⌊kx⌋ n2 . Exercice 18 — Une suite contractante Soit (un)n∈N une suite et k un réel de ]0; 1[ tels que pour tout entier naturel n, |un+1| ⩽k |un|. Montrer que la suite (un)n∈N converge vers 0. Exercice 19 — La série harmonique... On définit la suite (Hn)n∈N∗par : ∀n ∈N∗, Hn = n X k=1 1 k. 1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, H2n −Hn ⩾1 2. 2. En déduire la limite de (Hn)n∈N∗. Exercice 20 — ...diverge en ln(n) On définit les suites (un)n⩾2 et (vn)n⩾2 définies par : ∀n ⩾2, un = −ln(n) + n−1 X k=1 1 k et vn = −ln(n) + n X k=1 1 k. 1. Démontrer que les suites (un)n⩾2 et (vn)n⩾2 sont adjacentes. 2. En déduire que n X k=1 1 k ∼ n→+∞ln(n). Lycée Pierre-Gilles de Gennes 4 Adriane Kaïchouh BCPST 1 2020-2021 Exercice 21 — Et pourtant, elle alterne ! On définit la suite (Ln)n∈N∗par : ∀n ∈N∗, Ln = n X k=1 (−1)k k . 1. Démontrer que les suites (L2n)n∈N∗et (L2n+1)n∈N∗sont adjacentes. 2. En déduire la nature de la suite (Ln)n∈N∗. Exercice 22 — Une série de Riemann divergente 1. Montrer que pour tout n ∈N∗, on a 1 2√n + 1 ⩽√n + 1 −√n ⩽ 1 2√n. 2. En déduire que n X k=1 1 √ k ∼ n→+∞2√n. Études complètes de suites Suites récurrentes du type ∀n ∈N, un+1 = f(un) Exercice 23 — Exponentiellement Soit (un)n∈N la suite définie par : ( u0 = 0 ∀n ∈N, un+1 = exp(un). 1. Justifier que la suite (un)n∈N est bien définie. 2. Montrer que la suite (un)n∈N est croissante. 3. Montrer que la suite (un)n∈N n’est pas convergente. 4. En déduire lim n→+∞un. Exercice 24 — Une suite homographique Étudier la suite (un)n∈N définie par : u0 = 1 et ∀n ∈N, un+1 = 2un + 3 un + 2 . Exercice 25 — De l’homographie à la géométrie Soit (un)n∈N la suite réelle définie par : u0 = 0 et ∀n ∈N, un+1 = 2un + 3 un + 4 . 1. Justifier uploads/Geographie/ td8-suites-reelles.pdf

Tags
Administrationsuite suites exercice (un)n∈n montrer
Documents similaires
  • 21
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager