1 Cours de Systèmes dynamiques, chaos et applications. Frédéric Faure Universit

1 Cours de Systèmes dynamiques, chaos et applications. Frédéric Faure Université Grenoble Alpes, France frederic.faure@univ-grenoble-alpes.fr Master de Physique M1 (version : 5 novembre 2018) 2 Table des matières 1 Introduction 9 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Le problème de prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Le problème inverse ou problème de découverte des lois. Modélisation. 11 1.1.3 Hasard et déterminisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Modèle du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Equation de mouvement de Newton (1687) . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Résolution numérique de l'EDO (1.2.3) par la méthode de Euler (1768) 18 1.2.3 Section de Poincaré (1892) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Systèmes physiques reliés au modèle du pendule . . . . . . . . . . . 24 1.3 L'application logistique (1838,1985) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Ensemble de Mandelbrot (1980) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.4 L'ensemble de Julia (1918) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 Billard de Sinaï (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.1 Le billard rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2 Billard dispersif de Sinaï (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.3 Systèmes physiques reliés au modèle du billard dispersif . . . . . . . 36 1.5 Dynamique spatio-temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5.1 Modèle de Belousov-Zhabotinsky (1950) . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5.2 Interprétation du modèle en chimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Applications et champ de vecteurs 41 2.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1 Dé nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2 Rappels sur la diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.3 Applications conservatives ou dissipatives . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.4 Opérateur de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.5 Point xe et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.1 Dé nitions : champ de vecteur, équations du mouvement, ot . . . 51 3 4 TABLE DES MATIÈRES 2.2.2 Flot conservatifs et dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Opérateur de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.4 (*)Théorème fondamental qui garantit les solutions aux EDO . . . 57 2.2.5 Point xe et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Dynamique Hamiltonienne, Billards et ot géodésique 63 3.1 Équations de mouvement de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3 Flot Hamiltonien et crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Particule libre dans l'espace Euclidien. Translation sur le tore et billards . 69 3.4.1 Particule libre sur le cercle S1 ou le tore Td . . . . . . . . . . . . . 70 3.5 Particule libre sur une surface (ou espace courbe). Géodésiques . . . . . . . 74 3.5.1 Du ot géodésique au billard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.6 Billards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.7 Apparition du chaos dans un billard circulaire déformé . . . . . . . . . . . 85 3.7.1 Modèle étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.7.2 Billard circulaire (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.7.3 Billard légèrement déformé (a = 0.02) . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7.4 Billard plus déformé (a = 0.05) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.7.5 Billard déformé (a = 0.1 −0.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.8 Exemples de perturbation de modèles intégrables, apparition du chaos Ha- miltonien, avec d = 2 degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.8.1 L'application standard (standard map) . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.8.2 Le pendule magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.8.3 Le problème à trois corps réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4 Dynamique probabiliste de Markov 95 4.1 Dé nitions et propriétés générales . . uploads/Geographie/ cours-chaos-pdf.pdf

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Administrationdynamique point matrice alors fonction
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