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Universite Ibn Zohr Faculte des Sciences Juridiques Economiques et Sociales Ana

Universite Ibn Zohr Faculte des Sciences Juridiques Economiques et Sociales Analyse mathematique I Mohamed HACHIMI FILIERE SCIENCES ECONOMIQUES ET GESTION EG PREMIERE ANNEE xo X Semestre 1 Table des matieres 1 Fonction numerique d'une variable reelle 3 1. Ensemble des Nombres reels 3 2. Limite et continuite 6 3. Derivabilite 10 4. Etude d'une fonction 13 5. EXERCICES 15 2 Primitives. Calcul integral 16 1. Primitives 16 2. Integration 17 3. Methodes d'integration 19 4. Calcul approche d'une integrale 20 5. EXERCICES 21 3 Formule de Taylor. Developpements limites 22 1. Comparaison des fonctions 22 2. Formules de Taylor 23 3. Developpements limites 24 4. Applications des developpements limites 26 5. EXERCICES 27 4 Fonctions de plusieurs variables 28 1. Notions de base 28 2. Derivees partielles 29 3. Differentielles 32 4. Optimisation d'une fonction a deux variables 33 5. Integrales doubles 35 6. EXERCICES 35 £ x ( -oo) = l Fonction numerique d'une variable reelle 1. Ensemble des Nombres reels • Ordre et operations algebriques L'ensemble lR muni de la relation « inferieur ou egal » est un ensemble totalement ordonne. De plus, on ala propriete suivante: Si x, yet z sont trois nombres reels, alors Si z > 0 Si z < 0 x:S;y-¢:==}x+z:S;y+z X :S; y -¢::=::} X Z :S; yZ x :S; y -¢::=::} xz yz • L'ensemble JR. On appelle lR I'ensemble lR auquel on adjoint les deux symboles +oo et -oo. Soit: lR = lR U { +oo} U { -oo}. On prolonge a lR I'addition, la multiplication et la relation d'ordre de lR de la fa<;on suivante: -Pour £ E lR on pose : £ + (+oo) = +oo, £ + (-oo) = -oo, -Pour £ E JR* on pose: -(+oo) = -oo, -( -oo) = +oo, ( +oo) + ( +oo) = +oo ( -oo) + ( -oo) = -oo, -oo < £ < +oo. ( +oo si £ > 0 £ x (+oo) = t -oo si £ < 0. ( -oo si £ > 0 +oo si £ < 0. (+oo) x (+oo) = +oo (+oo) x (-oo) = -oo Malgre tout, certaines expressions ne sont pas definies : O x(+oo), Ox(-oo), (+oo)+(-oo). Ces expressions sont appelees formes indeterminees. • lntervalles de !'ensemble JR. Soient a et b deux elements de lR tels que a < b. On appelle intervalle ouvert d'extremites a et b le sous-ensemble de lR note ]a, b[ defini par: ]a, b[= { x E lR I a< x < b }· 0 Fonction numerique d'une variable reelle 4 Soient a et b deux nombres reels tels que a b. On appelle intervalle ferme d'extremites a et b le sous-ensemble de lR note [a, b] defini par: [a, b] = { x E lR I a x b }· Si a et b deux nombres reels tels que a b, on definit de meme l'intervalle semi-ouvert a droite (resp. a gauche) d'extremites a et b par: [a, b[ = { x E lR I ax < b} (resp. ]a, b] = { x E lR I a < x b})· Soit a un nombre reel. On appelle intervalle ouvert de centre a toute intervalle de type ] a- E, a + c[ ou E designe un nombre reel strictement positif. Enfin, on pose : [a, +oo[= { x E lR I x;? a}, ]a, +oo[= { x E lR I x >a }, ] - oo, a] = { x E lR I x a } ] - oo, a[= { x E lR I x <a }. • Valeur absolue Definition 1.1 Soit x un nombre reel. La valeur absolue de x est le nombre positif, note l xl , defini par : l xl = sup{x, -x} Il resulte immediatement de la definition que: Vx E lR : lx l ;? 0, l x l = I - x l , l x l ;? x . Proposition 1.1 Soient x et y deux nombres reels, on a: • l xy l = l x iiYI • lx + Yl l xl + I YI (inegalite t riangulaire ) • Voisinages Definition 1.2 Soit x0 un nombre reel . On appelle voisinage fondamental de x0 tout intervalle ouvert non vide de centre x0 . On note V 10 (xo) le voisinage fondamental de x de rayon E ( E > 0): Vc(xo) = { x E lR : xo- E < x < xo + c} = { x E lR l xo - x l < c} X Q- E xo x 0 +E Definition 1.3 On appelle voisinage d'un nombre reel x0 toute partie de lR qui contient un voisinage fondamental d e x. Definition 1.4 On appelle voisinage de +oo ( res p. -oo ) toute partie de lR contenant un intervalle de la forme ] a, +oo[ ( resp. ] - oo, a[) au a E JR. 0 Fonction numerique d'une variable reelle 5 = f • Notion de fonction numerique d'une variable reelle Definition 1.5 Une fonction numerique d'une variable reelle est une relation de JR dans JR telle qu'a tout element de JR est associe un element au plus de JR. On note f : JR -----+ JR. On definit souvent une telle fonction fen dormant !'expression, en fonction de x , de !'image f( x ) du reel x . On note f: X f( x ). Definition 1.6 Soit f : E -----+ F une fonction. On appelle domaine de definition (au ensemble de definition) de f la partie de JR constituee des elements ayant (exactement) une image; nous la noterons desormais Df . • Representation graphique --7 --7 Definition 1.7 Soit R (0, i , j) un repere cartesien du plan et une fonction. On appelle representation graphique (au courbe representative) de f dans R ['ensemble = {M( x, f( x ))l x E D1} au M( x, y) designe le point de coordonnees ( x, y) dans R. Lorsque x decrit D1 c JR, le point M( x, y) ou y = f( x ) decrit dans ce plan la courbe de la fonction f dans le repere choisi. y = f( x ) 1 r r 1 x • Graphe d'une fonction reciproque Soit E et F deux parties de JR. Soit f une fonction reelle d'une variable reelle, bijective de E dans F . La fonction reciproque f -1 existe et le graphe de f -1 est symetrique de celui de f par rapport ala premiere bissectrice (droite d'equation X = y). En effet, Soit , (a,{3 ) E -1 ( {3 , a) E Les points (a, {3 ) et ( {3, a) sont symetriques l'un de !'autre par rapport ala premiere bissectrice. 0 Fonction numerique d'une variable reelle 6 a 0 a 0 • Sens de variation Definition 1.8 Soit f une fonction reelle et I un intervalle de lR, tel que I c Df -On dit que fest croissante sur I si: V ( x , y) E I2 , x < y ==} f( x ) f(y) -On dit que f est decroissante sur I si : - f est strictement croissante sur I si : - f est strictement decroissante sur I si : V (x , y) E I2 , V ( x, y) E I2 , V ( x , y) E I2 , x < y ==} f( x ) ;? f(y) x < y ==} f( x ) < f(y) x < y ==} f( x ) > f(y) Pour etudier la croissante ou la decroissante de f,on introduit le rapport: f( x )- f(y) x -y OU X =/:. y. appele aussi taux d'accroissement de f. Ainsi, fest croissante (resp. strictement croissante) sur I si et seulement si: x =1= y ==} f( x )- f(y) ;? 0 (resp. > 0) . x- y 2. Limite et continuite Il est parfois necessaire d'etudier le comportement d'une fonction f( x ) lorsque x s'approche d'un point situe au bord de son domaine de definition; il y a plusieurs possibilites. • Limite en un point Definition 1.9 On dit que fa pour limite P ( P E JR.) en x0 si: V E > 0, 3 TJ > 0, V x E DJ : 0 < l x - xo l < TJ ==} lf( x )- PI <E . On dit aussi « f converge vers P quand x tend vers x 0 ». On note lim f ( x) = P . X-+Xo Cette definition ne precise pas si fest definie ou non en x0 . Dans le cas ou fest definie en x 0 , la valeur de la limite ne depend pas de f( x0 ) c-a-d que P peut etre different de f( x0 ). • Limite a droite et limite a gauche -On dit que P est une limite droite de fen x et on note lim f( x ) = P ou lim f( x ) uploads/Geographie/ analyse-mathematique 2 .pdf