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[TD20] Changements de r´ ef´ erentiels Exercice 1: Dans un ascenseur Un voyageu

[TD20] Changements de r´ ef´ erentiels Exercice 1: Dans un ascenseur Un voyageur prend l’ascenseur sa valise ` a la main. A l’aide du principe fon- damental de la dynamique, justiﬁer si la valise semble plus lourde ou plus l´ eg` ere lorsque on se trouve dans les situations o` u l’ascenseur : d´ emarre en montant, monte, est arrˆ et´ e, ralentit en descendant. Exercice 2: Franchissement Un bac, servant ` a traverser d’une rive ` a une autre, se d´ eplace ` a la vitesse ⃗ v par rapport ` a l’eau d’un ﬂeuve qui coule ` a la vitesse ⃗ u par rapport ` a la rive. On suppose que le module de ⃗ v est constant quelque soit le sens de d´ eplacement du bac. Il met une dur´ ee t1 pour traverser le ﬂeuve de largeur d, son mouvement ´ etant perpendiculaire aux rives dans le r´ ef´ erentiel li´ e au sol. Pour parcourir la mˆ eme distance dans le sens du courant, il met une dur´ ee t2 pour descendre le courant et une dur´ ee t3 pour le remonter. 1. Exprimer t1 t2 et t3 t1 en fonction de ⃗ u et ⃗ v. 2. D´ eterminer la vitesse du bac par rapport ` a l’eau en fonction de ⃗ u sachant que t1 = 3t2. 3. D´ eterminer dans chacun des cas la vitesse du bac par rapport au rivage en fonction de u. 4. Que vaut alors t3 t2 ? Conclure ` a partir des valeurs respectives des vitesse absolues correspondant aux dur´ ees t2 et t3. Exercice 3: Anneau glissant dans un r´ ef´ erentiel tournant Un anneau assimil´ e ` a un point mat´ eriel glisse sans frottements sur une tige horizontale (Ox) tournant ` a la vitesse angulaire constante Ωautour de l’axe vertical (Oz). L’anneau est li´ e au point O par un ressort de raideur k et de longueur ` a vide l0. On note ω2 = k m et a = ω Ω. 1. Repr´ esenter le dispositif sur un sch´ ema et faire un bilan des forces. 2. ´ Etablir l’´ equation du mouvement sur (Ox) en se pla¸ cant dans le r´ ef´ erentiel tournant. 3. Quelle est l’expression temporelle de x l’abscisse de la masse (sans int´ egrer les constante) ? On discutera ´ eventuellement plusieurs cas en fonction de a. 4. Tracer grossi` erement l’allure de la trajectoire. 5. ` A l’instant initial, le ressort et au repos et la vitesse de l’anneau par rapport ` a la tige est nulle. D´ eterminer les conditions portant sur a pour que la trajectoire soit ferm´ ee. 6. Montrer que le ressort est toujours tendu. Exercice 4: Pendule de Foucault Dans le r´ ef´ erentiel terrestre, on consid` ere un pendule de masse M, de masse m, et de longueur l. L’axe Oz est vertical, l’axe Ox est dirig´ e vers le sud et l’axe Oy vers l’est. On supposera que le mouvement de M est quasiment horizontal car de faible amplitude angulaire. La latitude du point d’attache A du pendule est λ. On consid´ erera que le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique est galil´ een. 1. On suppose dans un premier temps que le r´ ef´ erentiel terrestre est galil´ een et que le pendule est initialement lˆ ach´ e depuis la position (x0, 0, 0) avec une vitesse nulle, sa position d’´ equilibre ´ etant en (0, 0, 0). Quelles sont les ´ equations diﬀ´ erentielles en x et y r´ egissant le mouvement du pendule ? 2. On consid´ erera ` a pr´ esent que le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique est galil´ een. Donner l’expression du vecteur de rotation de la Terre ⃗ Ωdans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique exprim´ e dans la base ( ⃗ ux, ⃗ uy, ⃗ uz). 3. ´ Ecrire les ´ equations diﬀ´ erentielles du mouvement. On notera u = x+ıy, donner l’´ equation diﬀ´ erentielle en u. 4. Initialement ` a t = 0 on lˆ ache le pendule depuis la position (x0, 0, 0) avec une vitesse nulle. Donner les ´ equations horaires x(t) et y(t). 5. D´ ecrire l’allure de la trajectoire, et donner une description qualitative du mouvement lorsque Ω≪ω0 la pulsation propre du pendule en supposant le r´ ef´ erentiel galil´ een. Exercice 5: Mouvements sur un cercle tournant . Un point mat´ eriel M de masse m se d´ eplace sans frottements sur un cercle vertical de rayon a. Ce cercle est en ro- tation autour de l’axe vertical ` a la vi- tesse angulaire ω constante (voit ﬁgure). Le point M est rep´ er´ e par l’angle θ. 1. Donner une ´ equation en θ permettant de d´ eterminer les positions d’´ equilibre. 2. Identiﬁer, par une m´ ethode graphique, ces positions d’´ equilibre. 3. On d´ esire ´ etudier la stabilit´ e de ces positions d’´ equilibre. Donner l’expression du travail des forces d’inertie. 4. En d´ eduire l’expression de l’´ energie potentielle du point mat´ eriel dans le r´ ef´ erentiel tournant. 5. Parmi les positions d’´ equilibre pr´ ec´ edemment d´ eﬁnies, quelles sont celles qui sont stables ? uploads/Geographie/ td-mecanique.pdf