Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Modélisation dynamique à une équation. Professeur: Noha EL KHATTABI Université

Modélisation dynamique à une équation. Professeur: Noha EL KHATTABI Université Mohammed-V Agdal - Rabat Faculté des sciences 4 mars 2020 Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 1 / 35 Introduction. Un grand nombre de systèmes peuvent être décrits par une équation diﬀérentielle exprimant le bilan d’une grandeur caractéristique de l’état de ce système. Ainsi la masse totale M d’un constituant quelconque présente dans une région particulière de l’espace évolue en fonction du temps selon une loi du type dM dt = Production - Destruction + Echange où les trois termes du membre de droite correspondent eﬀectivement aux taux de production, de destruction et d’échange du constituant considéré. En général, on adopte comme convention de considérer comme positif tout apport au système tandis que les échanges avec le monde extérieur sont négatifs s’ils induisent une perte pour le système. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 2 / 35 De même la dynamique d’une population d’une espèce particulière mesurée par N (nombre d’individus ou biomasse exprimée en unités appropriées) suit une loi du type dN dt = Natalité - Mortalité + Migration/Transport où les trois termes du membre de droite représentent respectivement les taux de natalité, de mortalité et de migration ou de transport (apports extérieurs). Dans les cas les plus simples, les termes de production/destruction et d’échange resp. de natalité/mortalité, migration /transport) peuvent s’exprimer directement en fonction de M (resp. de N) de sorte que l’équation de bilan permet à elle seule de déterminer l’évolution temporelle M(t) (resp. N(t)). Dans d’autres cas, la paramétrisation des taux de variation en fonction de M (resp. de N) cache une modélisation des eﬀets combinés d’une multitude de processus qui ne peuvent être pris en compte explicitement (ou que l’on ne désire pas prendre en compte explicitement). Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 3 / 35 Modèles diﬀérentiels. Modèles malthusien et logistique. Thomas Robert Malthus 1766-1834, économiste britannique, premier à avoir présenté un modèle mathématique (malthusien) qui prédit une augmentation exponentielle de la population et une croissance linéaire des ressources. Ce pronostic pessimiste a été très vite contesté par la révolution industrielle et la révolution verte. Et c’est le mathématicien belge Verhulst en 1845 qui propose un modèle (logistique) plus réaliste. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 4 / 35 Le modèle dû à Malthus (1798), ignore la migration et le transport et suppose que la natalité et la mortalité sont proportionnelles à la densité de la population. Si N représente cette densité,et b et d les taux de natalité et de mortalité respectivement, le modèle s’écrit donc : dN dt = bN −dN Si la population initiale est N0, alors N(t) = N0e(b−d)t Selon le signe de b −d la population croît exponentiellement ou s’éteint rapidement. Ce modèle est irréaliste pour établir des prévisions à plus ou moins long terme. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 5 / 35 Le modèle de Verhulst vient réguler celui de Malthus dN dt = rN(1 −N K ) où r et K sont des constantes positives. Si N(0) = N0, la solution est aisément obtenue en intégrant : N(t) = N0Kert K + N0(ert −1) Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 6 / 35 La constante K représente la capacité portante du système (carrying capacity). La constante r représente le taux de croissance spéciﬁque pour de faibles valeurs de N. Elle représente également la vitesse à laquelle la solution N(t) tend vers K. Le comportement de la solution N(t) est qualitativement indépendant des constantes r et K du problème. En eﬀet, posant t1 = rt, N1 = NK on obtient l’équation : dN1 dt1 = N1(1 −N1) dont la solution ne dépend que de la condition initiale. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 7 / 35 Modèles diﬀérentiels. Equilibre et stabilité. On peut déduire le comportement de la solution sans résoudre explicitement l’équation. En eﬀet, lorsque N < K, dN dt > 0 i.e. la population croit . De même si N > K , dN dt < 0 i.e. la population décroit et enﬁn l’équilibre correspond à N = K ou N = 0. Plus généralement, considérons une population décrite par une équation diﬀérentielle dx dt = f (x). où f (x) est une fonction (non linéaire) connue de x. On supposera que f est suﬃsamment régulière (de classe C n pour un certain n). Le système est dit en équilibre lorsque la population reste constante au cours du temps. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 8 / 35 Ceci nous amène donc à chercher x∗vériﬁant : f (x∗) = 0 Pour étudier la stabilité écrivons x(t) sous la forme x(t) = x∗+ ϵ(t) On a alors : ϵ′(t) = f (x∗+ ϵ(t)) et par le théorème de Taylor, pour une petite perturbation ϵ : ϵ′(t) ≃f ′(x∗)ϵ(t) ce qui est équivalent à ϵ(t) ≃ϵ(0)ef ′(x∗)t Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 9 / 35 Ainsi, si f ′(x∗) < 0, toute perturbation est amortie exponentiellement et le système retourne à sa position d’équilibre (en un temps inﬁni) ; l’équilibre est dit stable. Si, par contre, f ′(x∗) > 0, les perturbations croissent exponentiellement ; l’équilibre est dit instable. Si f ′(x∗) = 0, l’étude de la stabilité ne peut être raisonnablement menée à partir de la linéarisation. Il convient de poursuivre le développement de Taylor de f jusqu’au premier terme non nul. Soit k l’ordre de la première dérivée non nulle de f en x∗, il vient : ϵ′(t) ≃f (k)(x∗) k! ϵk. Le signe de ϵ′(t) dépend donc du signe de f (k)(x∗) et de la parité de k. Étudier par exemple les diﬀérents cas : f (x) = x2,f (x) = −x2,f (x) = x3,f (x) = −x3. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 10 / 35 L’analyse de la stabilité constitue un outil extrêmement utile pour examiner l’applicabilité d’un modèle mathématique à un système écologique donné. En eﬀet, si l’observation révèle l’existence d’une conﬁguration d’équilibre (stable) du système et que le modèle mathématique n’admet pas de solution d’équilibre stable, la structure du modèle est clairement inadaptée. L’analyse linéaire de la stabilité possède des limites : elle ne nous renseigne correctement sur le comportement du système que pour des perturbations de petite amplitude. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 11 / 35 Exemple : * Exercice : Pour chacun des modèles suivants, déterminer les points d’équilibre et préciser leur stabilité. x′ = fi(x), i = 1, 2 avec f1(x) = x(x −1)(x + 2) et f2(x) = x2 −1. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 12 / 35 Modèles diﬀérentiels. Modèle de gestion des pêches et temps de recouvrement. La modélisation nous permet de déﬁnir entre autre des bases scientiﬁques appropriées pour la gestion des ressources halieutiques et, par exemple, d’établir les quotas de pêches permettant le développement durable des espèces pêchées tout en maximisant les prises. L’exemple suivant permettra de comprendre cette problématique tout en complétant le concept de stabilité introduit précédemment. Considérons une population dont la dynamique est décrite par un modèle de croissance logistique. Le prélèvement associé à la pêche induit un terme de perte supplémentaire qui, si l’eﬀort de pêche est constant, est supposé linéaire par rapport à la population, i.e. dN dt = rN(1 −N K ) −EN Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 13 / 35 En posant ρ = r −E et Ψ = K(1 −E r ), on retrouve le modèle de type logistique : dN dt = ρN(1 −N Ψ) Si ρ < 0, c’est à dire E > r, le seul équilibre non négatif est l’origine qui est stable. L’eﬀort est supérieur au taux de croissance intrinsèque de la population. La population est surexploitée et elle disparait. Si ρ > 0, c’est à dire E < r, il y a deux équilibres, l’origine qui est instable et N∗= Ψ > 0 qui est stable. La population tend vers l’équilibre stable N∗> 0 qui est bien sûr inférieur à l’équilibre K obtenu en l’absence d’exploitation. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 14 / 35 Chronique d’une population exploitée avec eﬀort de pêche constant pour r = 0, 1 et K = 20. Professeur: Noha EL KHATTABI (COURS) FSR 4 mars 2020 15 / 35 Si on observe cet équilibre en fonction de l’eﬀort de pêche : N∗(E) = K(1 −E r ) son prélèvement correspondant : P(E) = EN∗(E) = EK(1 −E r ) est maximum pour E = r/2 et vaut alors Pmax = rK/4. Le gestionnaire recommandera donc qu’un eﬀort de pêche E = r/2 soit accompli aﬁn de maximiser les prises. L’analyse ci-dessus suppose que l’état d’équilibre est toujours approximativement réalisé. En réalité, la constante de temps caractérisant la convergence vers cet état équilibre, appelée temps de recouvrement, est donné par T = 1 r −E . Elle augmente uploads/Geographie/ cours-chapitre2.pdf