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1 LE MOUVEMENT ET SA DESCRIPTION CINEMATIQUE I - INTRODUCTION La cinématique co

1 LE MOUVEMENT ET SA DESCRIPTION CINEMATIQUE I - INTRODUCTION La cinématique consiste en la description mathématique du mouvement d’un objet sans se préoccuper des causes qui animent cet objet. Le but que se fixe la cinématique est donc de caractériser au mieux le mouvement de l’objet grâce à l’utilisation des outils mathématiques que sont la géométrie vectorielle et la géométrie différentielle. Ce cours ne s’intéresse qu’à la description du mouvement d’un point matériel. La description du mouvement d’un corps réel est un peu plus complexe car il faut aussi pouvoir décrire son orientation (s’il tourne sur lui même par exemple) et ses déformations éventuelles tout au long du mouvement (mouvement d’un fluide par exemple). Dans tous les cas, on se ramène en dernier recours à la description du mouvement de chacun des points matériels qui composent le corps en question. Un point matériel est modélisé par un objet mathématique sans dimension auquel sera affecté un coefficient (la masse). Ce coefficient est d’une importance capitale dès lors que l’on s’intéresse aux causes qui ont engendré le mouvement : ce sera l’objet de la dynamique. Un point matériel ne peut pas être animé d’un mouvement de rotation sur lui-même car cela n’a mathématiquement pas de sens. Ce type de mouvement ne pourra se modéliser qu’en associant plusieurs points matériels qui formeront l'objet dont on étudie le mouvement. Assimiler un objet à un seul point matériel pour étudier son mouvement peut être justifié ou pas : cela dépend à la fois du type de mouvement que l’on veut décrire et des distances caractéristiques de l’objet par rapport à celles de la trajectoire que l’on étudie. Par exemple, si on étudie le mouvement orbital de la Terre autour du Soleil, on peut assimiler la Terre à un point matériel avec une très bonne précision car son rayon moyen ( m RT 6 10 37 . 6 = ) est bien plus faible que le rayon moyen de l’orbite terrestre ( m 11 10 49 . 1 ) ; si bien qu’il suffit de ne considérer qu’un seul point de la Terre, son centre par exemple. Par contre, si c’est le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même que l’on veut étudier, cette approximation n’est bien sûr plus valable. Pour décrire le mouvement, il est besoin des notions de temps et de distance, ainsi que d’un espace mathématique qui modélise l’espace physique dans lequel ce mouvement s’effectue. Dans ce cours, il est admis que vous avez déjà une connaissance empirique de ces notions et les unités employées seront conformes à celles du Système International (SI) 2 adopté en 1960 lors de la 11ème Conférence Générale des Poids et Mesures 1. L’unité de temps est aujourd’hui définie à l’aide de la physique atomique : la seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133. L’unité de longueur est définie à l’aide de la vitesse de la lumière dans le vide, constante fondamentale de la physique : le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 ème de seconde. Quant à l’espace physique, on le modélise en mécanique classique par un espace euclidien, c’est à dire un espace mathématique dans lequel la géométrie euclidienne que l’on vous a apprise est licite 2. Cette hypothèse, car c’en est une, n’est qu’une approximation (largement valable à notre échelle), car depuis Einstein (théorie de la relativité générale, 1916) on sait que la présence de matière déforme l’espace-temps au point de le rendre non-euclidien 3. II - NECESSITE D’UN REFERENTIEL - COORDONNEES - BASES II -1 Référentiels et coordonnées On a la sensation de voir un objet en mouvement lorsque l’on constate que sa position dans l’espace par rapport à d’autres objets fixes a changé au cours du temps. L’expérience nous montre en effet que la description et la sensation visuelle de ce mouvement ne peuvent s’appréhender que relativement à un ou plusieurs objets de référence : Exemple des deux trains - Vous êtes à la gare où deux trains sont à l’arrêt l’un à côté de l’autre. Montez dans l’un des deux et mettez-vous assis près d’une fenêtre qui donne sur l’autre train. Lorsque l’un des deux trains va démarrer, vous aurez la sensation pendant quelques secondes de ne pas savoir lequel est en mouvement 4. Cela vient de ce que les deux objets de référence (les deux trains) prennent la même importance à vos yeux. Vous ne lèverez l’ambiguïté que lorsque votre regard aura capté le quai par exemple dont vous savez qu’il est fixe. Alors seulement vous saurez lequel des deux trains se déplace par rapport à cet environnement fixe. Le système Soleil-Terre - Depuis la révolution scientifique du XVIIème siècle, on nous enseigne que la Terre tourne sur elle-même en 24 heures. Pourtant, depuis des temps immémoriaux, la plupart des gens pensaient que c’était le Soleil (et tous les astres, y compris les étoiles) qui tournait autour de la Terre, car c’est bien la sensation première que 1 Les unités du Système International sont : le mètre, le kilogramme, la seconde, l’ampère, le kelvin, la mole et la candela. Vous trouverez plus de renseignements sur le site web du Bureau International des Poids et Mesures : http://www.bipm.fr/fra/ 2 Lisez à ce sujet le chapitre 1 du cours de Physique de Berkeley (volume 1 – mécanique). 3 Dans un tel espace, la somme des angles d’un triangle ne fait plus 180°. Pour vous imaginer ce genre de propriété, pensez à un monde bi-dimensionnel tel que la surface d’une sphère ; les habitants de ce monde seraient plats et contraints de se déplacer sur la sphère uniquement. La somme des angles d’un triangle tracé sur cette sphère est alors supérieure à 180° et le théorème de Pythagore n’y est plus valable. Cet espace est dit non- euclidien. 4 A condition bien sûr qu’il n’y ait pas de secousse (c’est à dire qu’il n’y ait pas une brusque accélération). 3 l’on a. En effet, l’objet fixe de référence que capte votre regard, c’est le sol terrestre ; et par rapport à cet environnement fixe, c’est bien le Soleil et les autres astres qui se déplacent. Expérience de pensée - Imaginez-vous seul(e) dans l’espace avec votre camarade. Vous observez que la distance qui vous sépare diminue au cours du temps. Saurez-vous dire si c’est votre camarade qui se déplace vers vous, ou vous qui allez vers lui, ou bien tous les deux qui vous vous rapprochez l’un de l’autre ? Ce dernier exemple devrait achever de vous convaincre, si vous ne l’étiez pas déjà, qu’il est impossible d’affirmer qu’un objet est en mouvement ou pas sans faire référence à un autre objet. On traduit ce constat par la phrase suivante : le mouvement absolu (de même qu’une trajectoire absolue) n’existe pas, il n’existe que des mouvements relatifs (trajectoires relatives) à des corps de référence supposés fixes. Il est donc nécessaire, pour décrire le mouvement d’un objet, de faire appel à un ou d’autres objets de référence considérés comme fixes. Une fois ce corps de référence adopté, décrire le mouvement d’un point matériel (relativement à ce corps) consiste à pouvoir donner sa position à chaque instant. Pour cela, on se choisit un point origine O, fixe par rapport au corps de référence, ainsi que 3 axes fixes également (non parallèles entre eux), qui passent par O, et qui vont permettre de repérer le point matériel M. Le nombre 3 provient de ce que notre espace physique possède 3 dimensions spatiales 5. Le point O et les 3 axes forment le référentiel par rapport auquel sera décrit le mouvement du point M. Le plus simple est de choisir ces 3 axes perpendiculaires entre eux et de se donner 3 nombres x, y et z que l’on appellera coordonnées rectangulaires (ou cartésiennes) du point M relativement au référentiel {O, xyz}. Ces coordonnées permettent de positionner le point M de la façon suivante : depuis O, avançons de x fois la longueur unité le long de “l’axe des x”, puis de y fois parallèlement à “l’axe des y”, enfin de z fois parallèlement à “l’axe des z” : le point M est là. 5 En relativité, restreinte ou générale, ce nombre passe à 4 car le temps doit être considéré comme une coordonnée supplémentaire attachée à l’objet de référence : si on change d’objet de référence, cette coordonnée change également au même titre que les 3 autres coordonnées spatiales. En mécanique classique, le temps est le même quelque soit l’objet de référence choisi. 4 Afin de pouvoir repérer n’importe quel point de l’espace à 3 dimensions, on voit que les coordonnées cartésiennes x, y et z doivent chacune varier de ∞ − à ∞ + . II – 2 Différents systèmes de coordonnées La façon qui vient d’être adoptée pour connaître la position du point M dans le référentiel {O, uploads/Geographie/ cours-de-cinematique-l1.pdf