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Chapitre 1 : Géométrie Plane 1 Première production du contenu : Carine Sort Refonte dans OPALE et enrichissement (depuis 2017) : Alexandre BECART Chapire 1 Géométrie plane (1) 1.3.0 01/09/2020 Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale : http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0 /fr/ Table des matières Objectifs 4 Introduction 5 I - Quelques Définitions et propriétés 6 1. Rapide vision historique ................................................................................................................................. 6 2. Raisonnement hypothético-déductif ............................................................................................................... 6 3. fiche n°1 : Distance et Cercle. ........................................................................................................................ 8 3.1. Définitions. .................................................................................................................................................................................. 8 3.2. Problèmes de distance. ................................................................................................................................................................. 9 3.3. Tangente. ................................................................................................................................................................................... 10 4. Fiche n°2 : Droites perpendiculaires et parallèles. ........................................................................................ 10 5. Fiche n°3 : Angles. ........................................................................................................................................ 12 5.1. Angles adjacents, supplémentaires et complémentaires. .............................................................................................................. 12 5.2. Angles opposés par le sommet ou formés par deux parallèles et une sécante. .............................................................................. 13 5.3. Angles au centre ou inscrit dans un cercle. ................................................................................................................................. 14 6. Fiche n°4 : Polygones. .................................................................................................................................. 16 6.1. Généralités. ................................................................................................................................................................................ 16 6.2. Polygones réguliers. ................................................................................................................................................................... 20 7. Fiche n°5 : Triangles. .................................................................................................................................... 22 7.1. Triangle quelconque. .................................................................................................................................................................. 22 7.2. Triangle isocèle. ......................................................................................................................................................................... 22 7.3. Triangle équilatéral. .................................................................................................................................................................. 23 7.4. Triangle rectangle. ..................................................................................................................................................................... 23 8. Fiche n°6 : Droites Remarquables dans un triangle. ..................................................................................... 24 8.1. Médiatrices. ............................................................................................................................................................................... 24 8.2. Bissectrices. ................................................................................................................................................................................ 24 8.3. Médianes d'un triangle. .............................................................................................................................................................. 25 8.4. Hauteurs d'un triangle. ............................................................................................................................................................... 26 9. Fiche n°7 : Quadrilatères. ............................................................................................................................. 27 9.1. Vocabulaire et propriété des angles ............................................................................................................................................ 27 9.2. Cerf-volant ................................................................................................................................................................................ 28 9.3. Parallélogramme. ...................................................................................................................................................................... 29 9.4. Rectangle. .................................................................................................................................................................................. 29 9.5. Losange. .................................................................................................................................................................................... 30 9.6. Carré. ........................................................................................................................................................................................ 30 9.7. Propriétés de symétrie des quadrilatères usuels. .......................................................................................................................... 31 10. Fiche n°8 : Théorèmes dans le triangle. ...................................................................................................... 32 10.1. Dans le triangle rectangle ......................................................................................................................................................... 32 10.2. Théorème de Pythagore ........................................................................................................................................................... 32 10.2. Théorème de Pythagore .......................................................................................................................................................... 32 11. Fiche n°9 : Éléments remarquables dans les triangles particuliers. ............................................................. 34 11.1. Propriétés des triangles particuliers. ......................................................................................................................................... 34 12. Fiche 10 : Construction de figures à la règle et au compas. ........................................................................ 36 II - Points de repère sur l'enseignement de la géométrie dans les classes primaires. 40 1. Bibliographie indicative. ............................................................................................................................... 40 2. Indications générales pour l'enseignement de la géométrie ........................................................................... 41 3. Géométrie plane en maternelle ..................................................................................................................... 41 4. Géométrie plane en cycle 2. .......................................................................................................................... 42 5. Géométrie plane en cycle 3 ........................................................................................................................... 44 6. Deux exemples de difficultés attendues dans l'apprentissage des élèves. ..................................................... 45 III - Variables didactiques 48 1. Utilisation des instruments en géométrie plane ............................................................................................. 48 2. Variables didactiques. ................................................................................................................................... 49 3. Exemples de difficultés des élèves ................................................................................................................ 50 IV - Utilisation d'un logiciel de Géométrie Dynamique 51 1. Matériel à disposition et utilisation pédagogique .......................................................................................... 51 2. L'intérêt de l'utilisation d'un logiciel de construction géométrique ............................................................... 52 3. Deux exemples d'activités proposées aux élèves ........................................................................................... 53 V - Exemples de travaux d'élèves 58 1. Analyse de travaux d'élèves : reconnaissance de figures simples dans une figure complexe. ....................... 58 4 Carine Sort, Alexandre Becart, Université de Cergy Pontoise 1 : réactiver vos connaissances de géométrie plane du programme de collège (cycle 4) : définitions, propriétés, structure du raisonnement et procédures de démonstration 2 : initier une réflexion sur les programmes de l'école primaire, la lecture des documents institutionnels, les modalités d'enseignement de cette notion. 3 : assurer une première approche des notions de didactique des mathématiques dans le domaine de la géométrie plane (l'aspect "formes" à l'école maternelle sera abordée dans un autre chapitre) 4 : découvrir des outils issus des TICE exploitable dans l'enseignement de la géométrie en particulier la géométrie dynamique. Objectifs 5 Carine Sort, Alexandre Becart, Université de Cergy Pontoise Dans ce premier chapitre, en sus des connaissances théoriques, nous commencerons à introduire une première réflexion sur l'usage des outils informatiques ainsi que sur les savoirs professionnels à acquérir relevant de la didactique des mathématiques : erreurs, obstacles, procédures, situations d'enseignement, situations de référence, analyse a priori,... à travers les exercices et les situations problèmes proposés. Nous tenons à vous informer dès maintenant qu'il n'est pas attendu, à l'école primaire de présentation formelle tel que des définitions des objets géométriques abordés. Celles-ci sont du fait du collège. Les définitions que vous rencontrerez dans ce cours ne sont là que pour vous assurer un minimum de recul théorique. l'approche des mathématiques à l'école primaire est faite de façon empirique à partir de manipulation, d'expériences, de problème et de raisonnements. Pour les définitions, il s'agit simplement que les élèves utilisent le vocabulaire correct à bon escient sans leur demander de formuler une définition de l'objet géométrique en jeu. Ceci est essentiel pour comprendre les attentes de la géométrie de l'école primaire dès le début de ce cours. Le chapitre de géométrie plane se décompose en une première partie sur les connaissances de base, suivie d'une première approche réflexive sur les programmes de l'école primaire et de notions didactiques et d'un découverte de l'usage des logiciels de géométrie dynamique en classe. Au début de ce chapitre, il s'agit de vous rappeler les connaissances de base nécessaires de géométrie plane exigées au concours et de tout futur professeur des écoles ; le cours ne saurait être exhaustif et vous pourrez le compléter (devrez !) au gré de vos lectures complémentaires (par exemple manuels de 3ème ou de 2nde générale ou tout livre de préparation au concours). Puis nous apportons une première réflexion (brève) sur les programmes du primaire pour vous permettre d'entrer progressivement dans les lectures institutionnelles nécessaires et les savoirs professionnels liés à chaque thème abordé tout au long de cette année de M1. La dernière partie renvoie aux logiciels de géométrie dynamique pour compléter la partie plus générale sur l'apprentissage des TICE nécessaire. Introduction Quelques Définitions et propriétés 6 1. Rapide vision historique La géométrie abordée à l'école primaire entre dans le champ mathématiques de la géométrie euclidienne qui relève de l'étude des formes idéalisées du plan et dans l'espace tel que nous pouvons les percevoir. Il existe d'autres géométries qui ne sont pas au programme du concours. Le livre d'Euclide intitulé les Eléments a été écrit vers 300 avant Jésus-Christ. Etudié jusqu'au début du XXème siècle, ce livre contient des théorèmes antérieurs, notamment les théorèmes de Pythagore et de Thalès. Un apport fondamental de ce livre est la démarche exposée : après avoir instaurées des axiomes (règles de base non démontrables mais qui semblent intuitivement évidentes ; exemple : par deux points distincts du plan, il ne passe qu'une et une seule droite), ces règles de base servent de point de départ à des déductions obtenues par raisonnement : les propriétés, les théorèmes, leurs réciproques, leurs contraposées, et autres corollaires etc. La géométrie (mot d'origine grecque signifiant « mesure de la Terre ») devient une théorie axiomatique ; Les faits de l'expérience accumulés pendant des siècles notamment en Mésopotamie et en Egypte, à partir des pratiques d'arpentage, d'architecture, d'astronomie trouvent leur cohérence dans leur interdépendance déductive. Les quatre premiers volumes sont consacrées à la géométrie plane et étudient les propriétés des figures rectilignes et de cercles. Les solutions des problèmes se construisent à la règle et au compas. Une distinction est faite entre les objets géométriques abstraits et leurs réalisations concrètes obtenus à l'aide de ces instruments. Les connaissances et les capacités attendues d'un candidat au concours de professeur des écoles en géométrie sont principalement : connaître des propriétés géométriques de figures usuelles une configurations de base, démontrer une proposition géométrique en utilisant la méthode déductive, reproduire ou construire des figures à la règle ou au compas, décrire une figure ou rédiger un programme de construction. 2. Raisonnement hypothético-déductif Le principe même du raisonnement en mathématiques est l'implication (propriété direct) : un fait en implique un autre, une hypothèse entraîne une conclusion : A entraîne B. La réciproque de la propriété : B entraîne A. La contraposée de la propriété : non B entraîne non A. Un exemple : Quelques Définitions et propriétés I fiche n°1 : Distance et Cercle. 7 Méthodologie : Pour la partie théorique du concours, il est attendu de vous que vous appliquiez un raisonnement hypothèse déductif et logico-déductif c'est à dire un raisonnement basé sur une suite de raisonnements objectifs basés sur les règles de la logique permettant de déduire un résultat à partir des hypothèses données. Cette attente est particulièrement forte dans les exercices de géométrie pour lesquels il faudra vous appliquer à une rédaction complète, claire, précise et concise. Une étape d'une déduction en géométrie se fait en général en trois temps : 1. Si nous avons des Hypothèses (supposée vrai) 2. Alors par l'application d'une propriété dont les hypothèses satisfont la condition initiale 3. Nous pouvons conclure que la conséquence de la propriété dans notre cas particulier est vraie Si la démonstration à une question nécessite d'appliquer ces trois temps plusieurs fois on dira que c'est un raisonnement en plusieurs étapes. De manière général, la difficulté importe des raisonnement en plusieurs étapes induit la faible fréquence de question de ce type dans les sujets de concours. Méthode : Structure d'une démonstration géométrique. 8 1. 2. 3. 4. 3. fiche n°1 : Distance et Cercle. 3.1. Définitions. On uploads/Geographie/ cours-geometrie-plane.pdf