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MÉTHODES D'INTERPOLATION SPATIALE Cours d’Interpolation spatiale et de Géostati

MÉTHODES D'INTERPOLATION SPATIALE Cours d’Interpolation spatiale et de Géostatistique Dr Derving BAKA 2 I INTRODUCTION L'étude de nombreux phénomènes naturels qui se développent dans l'espace, reposent sur des données acquises ponctuellement ; par exemple la pluie n'est connue qu'à partir des observations sur un réseau de pluviomètres. Pour de nombreuses applications, cette connaissance spatiale discrète est insuffisante ou tout au moins peu parlante. Ainsi le schéma ci-dessous où nous avons reporté les valeurs expérimentales d'une fonction continue dans l'espace, n'est pas d'une interprétation facile et immédiate. Au contraire, les représentations suivantes permettent d'un premier coup d'œil d'avoir une idée générale du phénomène. 17 29 28 49 33 61 36 19 24 26 14 57 55 34 49 22 20 25 48 32 17 29 28 49 33 61 36 19 24 26 14 57 55 34 49 22 20 25 48 32 3 Pourquoi et comment passer d'une représentation à l'autre ? Voici placé notre problème. Etablir une cartographie d'un phénomène spatialement structuré répond à des besoins multiples. Une carte, c'est tout d'abord une représentation d'un phénomène sous une forme synthétique facile à analyser ; c'est aussi un support qui permet d'évaluer l'intensité du phénomène cartographié en dehors des points d'observations. Une carte permet donc de répondre à des questions ponctuelles : Quelle est l'altitude d'un site ? Quelle est la pluviométrie en un lieu ?... Un autre intérêt est de permettre d'obtenir une estimation globale de l'ampleur d'un phénomène sur une région déterminée : Quel est le volume précipité lors d'une averse sur un bassin versant donné ? Quelle est l'altitude moyenne d'une commune ? L'établissement d'une carte (ou d'ailleurs de toute autre représentation graphique continue) à partir de données ponctuelles, nécessite de savoir résoudre deux problèmes principaux : - Le premier est de disposer d'outils plus ou moins sophistiqués qui permettent de reconstituer en tout point l'intensité du phénomène à partir des quelques informations recueillies ponctuellement. Ce problème est celui de l'interpolation des valeurs. Accessoirement, on peut d'ailleurs ne pas se contenter de connaître les valeurs caractéristiques du phénomène en tout point, mais aussi vouloir connaître avec quelle précision ou quel risque d'erreur sont faites les interpolations. C'est le problème connexe de l'évaluation de l'erreur d'interpolation. - Le second problème est celui de la représentation physique d'ensemble des valeurs mesurées et interpolées. C'est au sens strict le problème de la cartographie automatique. Les techniques de cartographie sont bien connues et ne présentent guère de difficultés théoriques. Au contraire, les méthodes d'interpolation et d'estimation de l'erreur d'interpolation sont plus complexes et s'appuient généralement sur la théorie des variables régionalisées dont l'approche est peu facile. 4 II Les méthodes traditionnelles d'interpolation De tous temps, l'homme de science a été confronté à des problèmes d'interpolation. Les façons de résoudre ces problèmes ont longtemps été limitées par les moyens techniques disponibles. En particulier l'absence de moyens de calcul puissants a longtemps été un frein au développement opérationnel des techniques d'interpolation. Ainsi les méthodes traditionnelles reposent sur des hypothèses mal fondées ou tout au moins difficilement vérifiables mais qui permettent d'aboutir à des calculs simples. Dans bon nombre d'entre elles, le côté subjectif joue un rôle important voire prépondérant. II.1 : La "méthode de Thiessen" Dès 1911, Thiessen proposait une méthode pour évaluer des moyennes spatiales sur un domaine à partir d'informations ponctuelles. D'une façon sous-jacente, la "méthode de Thiessen" est une technique d'interpolation basée sur la "loi" du plus proche voisin. Supposons qu'une variable ) (x R soit connue en un certain nombre de points notés i x . Thiessen admet qu'en un point quelconque x différent des i x , on peut évaluer ) (x R vrai inconnu par l'estimateur ) (x R ∗ ainsi défini : ) ( ) ( k x R x R = ∗ ( k x étant parmi tous les i x , celui qui est le plus proche de i x ) Comme l'illustre le schéma ci dessous, la méthode de Thiessen revient à interpoler la fonction ) (x R par une fonction ) (x R ∗ en escalier, constante par polygone. Les polygones, appelés polygones de Thiessen, sont construits à partir des médiatrices des segments joignant les points d'échantillonnage i x . x k > x > x i > x k > est parmi les x i > le point le plus proche de x > x j > Domaine associé au point sur lequel x j > R ( ) = R ( ) x > * x j > Manifestement, l'unique avantage de cette méthode réside dans sa simplicité. A priori, on ne dispose d'aucune information objective sur la représentativité des interpolations. Comme l'illustrent les schémas ci-dessous où le problème est présenté à une dimension, si la densité des points d'échantillonnage i x est "très forte", la représentativité peut être à peu près 5 correcte (à gauche), dans d'autres cas, au contraire les résultats peuvent être très décevants (à droite): La méthode de Thiessen est vraiment la méthode d'interpolation à utiliser, lorsque l'on ne peut rien faire d'autre ! II.2 : Méthode des "facettes planes" Si comme précédemment la fonction ) (x R n'est connue qu'en nombre restreint de points i x , il est possible d'approcher localement ) (x R par une fonction ) (x R ∗ qui soit un plan. En effet, toute courbe peut être approchée localement par sa tangente et on sait que si deux points de cette courbe sont proches, on peut confondre la corde et la tangente. De même une surface ) (x R peut être approchée localement par son plan tangent et si on dispose des valeurs de R(xi;-› ) en trois points i x , j x et k x suffisamment proches, on pourra confondre ) (x R et le plan ) (x R ∗ passant par ) ( i x R , ) ( j x R et ) ( k x R Xi XjXk 6 Si l'on reprend l'exemple développé pour la méthode de Thiessen, les points i x seront liés entre eux de façon à couvrir le domaine d'un ensemble de triangles ayant pour sommets les i x et qui seront les plus compacts possibles. A l'intérieur de ces triangles, on approche ) (x R par un plan, et les ) (x R ∗ sont des interpolations linéaires, comme l'illustre le schéma ci- dessus. Une première remarque concerne le choix des triangles, la notion de "plus compact" est subjective et les tracés varieront d'un opérateur à l'autre. Mais surtout il faut relever que s'il est toujours possible de construire des triangles, rien ne permet à priori de savoir si les points sont "suffisamment" proches, et l'on ne sait ainsi si les interpolations sont fiables ou non. Des essais comparatifs effectués pour l'interpolation de champs pluviométriques montrent cependant que la méthode des "facettes planes" (sensiblement une moyenne entre les ) ( i x R ∗ des trois plus proches voisins) est nettement préférable à la méthode de Thiessen (affectation du ) ( i x R au plus proche voisin). II.3 : Interpolations polynomiales. L'idée générale est d'approcher la fonction ) (x R par un polynôme ) (x R ∗ dont le nombre n de paramètres sera égal au nombre n de points i x où l'on connaît ) ( i x R . Les valeurs des n paramètres du polynôme seront calculées en résolvant le système de n équations : ) ( i x R = ) ( i x R ∗ Pour être plus concret, supposons que l'on connaisse les valeurs ) ( i x R en 25 points i x de coordonnées (xi,yi) et que l'on décide de prendre pour ) (x R ∗ un polynôme de Lagrange : ∑ ∑ = = ∗ = p k k j ij m j y x a x R 0 0 ) ( En prenant m = p = 4, on obtiendra 25 équations du type : ∑ ∑ = = ∗ = 4 0 4 0 ) ( k k j ij j y x a x R qui permettront de calculer les 25 paramètres aij. On dispose ainsi d'une méthode d'interpolation globale, mais dont les résultats dépendent du choix des formes polynomiales retenues (polynômes de Lagrange, polynômes d'Hermitte...). En effet, si l'on n'y prend pas garde, les surfaces polynomiales ont tendance à "osciller" car leur degré et leur complexité augmentent avec le nombre de points de mesure. Pour illustrer cela, supposons que la fonction ne dépende que de l'abscisse x . On peut alors approcher R( x) par : ∑ − = ∗ = 1 0 ) ( n j j j x a x R 7 X1 X2 X3 X4 R X X1 X2 X3 R X Le schéma précédent illustre clairement les anomalies que peut provoquer l'interpolation polynomiale : avec trois points, on ajuste une parabole (à droite), mais l'introduction d'un quatrième point pourtant intuitivement conforme à l'interpolation parabolique conduira à une interpolation par une courbe de degré trois (à gauche) très hasardeuse. Ces techniques d'interpolation polynomiale uploads/Geographie/ cours-geostatistique-et-interpolation-spatiale.pdf