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Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouan

Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouani 6 IV.- Espérance mathématique de l’estimateur A ˆ : Nous avons ( ) ε X X X A A ′ ′ + = −1 ˆ alors l’espérance mathématique sera : ( ) ( ) ( ) [ ] ε X X X E A E A E ′ ′ + = −1 ˆ , soit ( ) ( ) [ ] ε E X X X A A E ′ ′ + = −1 ˆ , car A est une quantité certaine (non-aléatoire). Par hypothèse fondamentale, on a [ ] 0 = ε E , d’où ( ) A A E = ˆ . L’estimateur A ˆ est non-biaisé. V.- Matrice des variances-covariances de l’estimateur A ˆ : La matrice A ˆ Ω des variances-covariances de A ˆ est définie par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )               = Ω 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ a Var a a Cov a a Cov a a Cov a Var a a Cov a a Cov a a Cov a Var k k k k A L M O M L L En remarquant que : ( ) ( ) [ ] 2 ) ˆ ( ˆ ˆ i i i a E a E a Var − = ( ) [ ] 2 ˆ i i a a E − = car ( ) i i a a E = ˆ ( )( ) [ ] i i i i a a a a E − − = ˆ ˆ et que ( ) ( )( ) [ ] ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ , ˆ j j i i j i a E a a E a E a a Cov − − = ( )( ) [ ] j j i i a a a a E − − = ˆ ˆ On peut mettre A ˆ Ωsous forme : ( )( )       ′ − − = Ω ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ A E A A E A E A ( )( )       ′ − − = Ω A A A A E A ˆ ˆ ˆ Or ( ) ε X X X A A ′ ′ = − −1 ˆ et [ ] ( ) [ ]′ ′ ′ = ′ − − ε X X X A A 1 ˆ www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouani 7 [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 1 1 ˆ − − ′ ′ = ′ ′ ′ ′ ′ = ′ − X X X X X X A A ε ε puisque ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1 1 − − − ′ =       ′ ′ = ′ ′ X X X X X X Alors, on aura : ( )( ) [ ] 1 1 ˆ ) ( ) ( − − ′ ′ ′ ′ = Ω X X X X X X E A ε ε soit ( ) ( ) ( ) 1 1 ˆ − − ′ ′ ′ ′ = Ω X X X E X X X A ε ε Remplaçons ( ) ε ε ′ E par sa valeur I 2 σ , on obtient: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 1 2 1 ˆ − − − − ′ ′ ′ = ′ ′ ′ = Ω X X X X X X X X IX X X X A σ σ Finalement : ( ) 1 2 ˆ − ′ = Ω X X A σ La matrice (X’X)-1 est une matrice symétrique de type (k,k). Pour que l’estimateur Â soit convergent, il est nécessaire que la matrice (X’X)-1 tend vers zéro lorsque le nombre d’observations n augmente indéfiniment. Habituellement, ceci se pose comme une hypothèse technique de la régression multiple. VI.- Théorème de Gauss-Markov : L’estimateur Â est « BLUE » : L’estimateur ( ) [ ] Y X X X A ′ ′ = −1 ˆ est un estimateur BLUE « Best Linear Unbiased Estimator » de A, c'est-à-dire que la variance de Â est la plus petite entre tous les estimateurs sans biais de A. Démonstration : Considérons un estimateur quelconque α de A. a) L’estimateur α doit être linéaire en Y : Y M = α Α est de type (k,1). Y est de type (n,1). La matrice M est ainsi de type (k,n). Remplaçons Y par sa valeur, on obtient : α=M(XA+ε) α=MXA+Mε b) Il faut montrer que M=(X’X)-1X’ : Pour cela, on peut considérer l’expression : M=(X’X)-1X’ +N et montrer que la matrice N, de type (k,n) est égale à zéro : N=0. www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouani 8 c) L’estimateur α doit être non-biaisé, c'est-à-dire qu’il doit vérifier E(α)=A : E(MXA+Mε)=A => MXA+M E(ε)=A => MXA=A puisque E(ε)=0. C'est-à-dire la condition MX=I. Ou encore [(X’X)-1X’+N]X=I => (X’X)-1(X’X)+NX=I => I+NX=I => NX=0 d) L’estimateur α doit être de variance minimale : La matrice Ωα des variances-covariances de α est : Mais ε M A I + = ε M A + = ε α M E + = ) ( ε α α M E = − ⇒ ) ( ( )( ) [ ] ( ) M I M M ME M M E M M E ′ = ′ ′ = ′ ′ =       ′ = Ω 2 σ ε ε ε ε ε ε α M M ′ = Ω ⇒ 2 σ α Cette expression peut aussi s’écrire : ( ) [ ]( ) [ ]′ + ′ ′ + ′ ′ = Ω − − N X X X N X X X 1 1 2 σ α ( ) [ ] ( ) [ ] N X X X N X X X ′ + ′ ′ + ′ ′ = − − 1 1 2 σ ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] N N X X NX N X X X X X X X X X ′ + ′ + ′ ′ ′ + ′ ′ ′ = − − − − 1 1 1 1 2 σ ( ) ( ) ( ) ( )       ′ + ′ + ′ ′ + ′ = − − − N N X X NX NX X X X X 1 1 1 2 σ puisque NX=0 Les variances se trouvent sur la diagonale principale de Ωα. Il faut minimiser ces termes. Mais, σ2 et (X’X)-1 étant des constantes, il faut donc minimiser les éléments de la diagonale de NN’. Ces éléments qui sont des variances, sont obligatoirement positifs ou nuls. ( ) [ ] N N X X ′ + ′ = −1 2 σ ε α M MXA + = ( )( )       ′ − − = Ω ) ( ) ( α α α α α E E E www.elmerouani.jimdo.com ®El Merouani FP Tetouan Introduction à l’économétrie S6-LEF sc. éco. & gestion Prof. Mohamed El Merouani 9                         =                         = ∑ ∑ ∑ = = = n j kj n j ij n j j kn n k k kn k k n NN 1 1 1 2 1 1 2 12 1 11 2 1 1 12 11 ' ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω O O L M O M L L L M O M L Ils sont minimums lorsqu’ils sont nuls, c'est-à-dire Cette dernière relation est vérifiée si et seulement si ωij=0, pour tout i et pour tout j, en d’autres termes si N=0. Conclusion : L’estimateur Â est ainsi « BLUE » . VII.-Estimateur de σ2 : σ2 est lui-même inconnu, alors on l’estime. On peut montrer que k n e e − ⋅ ′ = 2 ˆ σ où e’.e est la somme des carrées des résidus, c'est-à-dire : et (n-k) est le degré de liberté. L’estimateur σ uploads/Geographie/ anova.pdf