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Méthode de séparation des variables 1) Introduction : Principe de la méthode A

Méthode de séparation des variables 1) Introduction : Principe de la méthode A partir d'un exemple on va présenter une méthode qu'on peut souvent utiliser pour trouver la solution d’une E.D.P vérifiant certaines conditions initiales et certaines conditions frontières. Soit à résoudre l'équation (E) (I) avec les conditions suivantes (1) u(x,0) = f(x) condition initiale (II) (2) u(0, t) = 0 = u(L, t) conditions frontières On essaye de résoudre ce problème en cherchant une solution de la forme u(x,t) = X(x).T(t) Alors l’équation (E) , les conditions initiale et aux frontières deviennent (III) On suppose f non identiquement nulle, on cherche donc deux fonctions X et T non identiquement nulles: en tout point (x,t) où u(x,t) est non nulle. (IV) Le membre de droite ne dépend que de la variable t, alors que celui de gauche ne dépend que de x. Cette relation ne peut donc être satisfaite, quelque soient x et t, que si les deux membres se réduisent à une même constante. Ainsi il faut trouver les nombres λ et toutes les fonctions non identiquement nulles Xλ et Tλ telles que Si X λ, T λ et λ sont solutions du problème (II-1) u(x,t) = X λ T λ vérifie (l) et (II-2) (V) De plus u(x,0) = Xλ(x) Tλ(0) u(x,t) ne peut être solution de (I) vérifiant (II-I) que si f(x) est proportionnelle à l’une des fonctions Xλ(x). Autrement dit, on sait résoudre le problème proposé pour toutes les fonctions f proportionnelles à l'une des fonctions Xλ. Comme l'équation (I) est linéaire et comme les conditions frontières (II-2) sont vérifiées par les fonctions d'un espace vectoriel, toute combinaison linéaire de solution de (l) vérifiant (II-2) est encore solution de (1) vérifiant (II-2). Si X1, ..., Xn et T1, ..., Tn sont solutions de (II-1), u(x,t) = Σ i Xi(x) Ti(t) est solution de (l) et vérifie (II-2), or u(x,0) = Σ i Xi(x) Ti(0) , si f(x) = Σ i ai Xi(x) on peut résoudre le problème initial en choisissant Tk(0) = ak Ainsi il faut trouver les fonctions f qui peuvent s'exprimer en fonction de la suite Xn, n ϵ IN par la formule f(x) = Σ n an Xn(x) Ces fonctions f appartenant à un certain espace vectoriel H, il faut examiner si la famille Xn, n ϵ IN forme une base orthonormée de H. La méthode de séparation de variables dans les E.D.P linéaires conduit à la résolution d'équations différentielles. Ce qui nous ramène donc à des problèmes de recherche de valeurs propres ou de fonctions propres de l'opérateur différentiel correspondant. 2) Opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert Produit Hermitien un produit hermitien, (synonymes: produit scalaire) noté <... , …> sur l’espace vectoriel complexe E, est une application de l’ensemble E2 dans C qui satisfait, ∀ λ ϵ C et (f,g,h) ϵ E3 les axiomes suivants: On montre aussi qu’on a les relations suivantes Un des exemples les plus courants d'espace de Hilbert est l’espace euclidien de dimension 3, noté ℝ3, muni du produit scalaire usuel. Définition: Un espace vectoriel complexe E, muni d'un produit hermitien, est appelé un espace hermitien. Théorème I : Sur tout espace hermitien E, on peut définir une norme, appelé la norme hermitienne, associé au produit hermitien par Théorème 2 : Inégalité de Schwarz : Deux vecteurs quelconques d'un espace hermitien vérifient l'inégalité de Schwarz L'inégalité ne pouvant être satisfaite que si f = λ g, λ ϵ C , ou si l’un des deux vecteurs est nul. Convergence et Espace de Hilbert Définition I : Une suite Un, x ∈ IN telle que vérifiant la propriété de Cauchy s'appelle suite de Cauchy. Ainsi toute suite convergeante dans E est une suite de Cauchy. Si toute suite de Cauchy dans E est convergeante dans E, on dit que E est un espace complet. Définition 2 : Un espace hermitien complet est appelé espace de Hilbert. Systèmes orthonormés : Vecteurs Orthogonaux Définitions : 1) Dans un espace de Hilbert, deux vecteurs f et g (différent de 0) sont dits orthogonaux si < f , g > = 0. On notera f ⊥ g. 2) Un ensemble fini ou dénombrable de vecteurs e1, e2, ... de H dans lequel deux vecteurs quelconques sont orthogonaux < ei , ej > = 0 si i ≠ j, est appelé un système orthogonal de vecteurs. 3) Un système orthogonal e1, e2, ... de vecteurs est appelé un système orthonormé si chaque vecteur du système est normé à l'unité < ei , ej > = ij . Systèmes orthonormés : Procédé d'Orthogonalisation de Schmidt Il s'agit d'une méthode permettant de construire un système orthonormé dans un espace de Hilbert H, à partir d'un système de k vecteurs linéairement indépendants de H. Supposons que A = (u1, ... , uk) soit un ensemble de vecteurs linéairement indépendants et non nuls de l’espace H. Partant d'un élément quelconque, par exemple u1. Comme u1 est non nul, le vecteur est défini et de norme unité. Les vecteurs e1 et u2 sont linéairement indépendants, donc le vecteur v2 donné par n'est pas nul. De plus, il est orthogonal à e1 car donc le système (e1,e2) où est un système orthonormé. Pour poursuivre l’explication du procédé de Schmidt, nous raisonnerons par récurrence: supposons qu'on ait obtenu, par combinaison linéaire de (u1, ... ,un-1) un système orthonormé (e1, ... ,en-1). Nous définirons alors qui n'est pas nul car un ne peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de u1, . . . ,un-1. Si m < n, on a donc le système (e1, ..., en) où est orthonormé. On peut ainsi poursuivre ce procédé et construire à partir de la suite (u1, ... ,uk) de vecteurs linéairement indépendants de H un système orthonormé (e1, .. . ,ek). Le résultat n'est pas unique car il dépend de l’ordre dans lequel on prend les vecteurs ui. Systèmes orthonormés : Bases orthonormées Définition I : Soit H un espace de Hilbert, e0, .., en, . ..(n ϵ IN) une suite d'éléments de H tel que 1) < ep , eq > = 0 si p ≠ q, < ep , eq > = 1 ∀ p ϵ IN 2) Tout élément u orthogonal à tous les en est nul. Une telle suite s'appelle une base (hilbertienne) orthonormé de H. Définition 2 : Un espace de Hilbert est dit séparable s'il possède une base orthonormée. Théorème : Soit un espace de Hilbert séparable H, (e0, .., en, ...) n ϵ IN forment une base orthonormée. Pour tout u ϵ H, u s'écrit Exemple : Soit E l’ensemble des fonctions complexes périodiques de période 2p. E est un espace de Hilbert séparable pour le produit hermitien défini par ∀ < f , g > ϵ E2 La famille u = exp(i n t), n ϵ IN définit une base Pour tout f ϵ E, f s'écrit 3) Problème de Sturm-Liouville Pour les principales équations de la physique mathématique (équation des ondes, de Laplace, de la chaleur, de schrôdinger ...) on peut rechercher des solutions particulières par la méthode de séparation des variables qui ramène ces équations aux dérivées partielles à des équations différentielles linéaires du second ordre de la forme Au = λu où λ est un paramètre variable et A un opérateur différentiel. Des équations dont on cherche les solutions satisfaisant à des conditions imposées par le problème physique étudié. Les opérateurs différentiels de cette forme, définis sur un espace de Hilbert, qui admettent un système complet de fonctions propres sont appelés des opérateurs de Sturm- Liouville. Problème régulier de Sturm-Liouville Définition 1 : Soit s une fonction strictement positive sur [a,b] appelée densité ou poids. On note L2 s [a,b] l’espace vectoriel des fonctions de carrées sommables telles que La quantité est un produit hermitien sur cet espace qui est complet pour la norme associée et est ainsi un espace de Hilbert. Définition 2 : Soit sur un intervalle fermé borné [a,b] trois fonctions continues p, q et s vérifiant s > 0 et p de classe C1. Soient La recherche des valeurs propres λ et des fonctions propres f de l’opérateur A défini par vérifiant les conditions (2) s'appelle un problème régulier de Sturm-Liouville. A est défini sur l'espace vectoriel E des fonctions deux fois dérivables, E ⊂ L2 s [a,b] . A est en plus auto adjoint < Af , g > = < f , Ag >. Théorème I : Il existe une famille dénombrable de valeurs propres réelles et simples de λ et il existe un réel m tel que A ces valeurs propres sont associées des fonctions propres ϕ1(x), … ,ϕn(x), … Théorème 2 : si p(x) > 0 et q(x) ≥ 0 sur [a,b], les valeurs propres sont toutes négatives. si p(x) < 0 et q(x) ≤ 0 sur [a,b], les valeurs propres sont toutes positives. Théorème 3 : Les fonctions propres associées à des valeurs propres différentes sont orthogonales sur le segment [a,b] c’est à dire <ϕn(x),ϕm(x)> = 0 où ϕn(x) et ϕm(x) sont les fonctions uploads/Geographie/ cours-intro-edp-master-g-eng-4.pdf