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Prof A. Albert DENOMBREMENT – PROBABILITE A) Dénombrement : I) Rappels : Opérat

Prof A. Albert DENOMBREMENT – PROBABILITE A) Dénombrement : I) Rappels : Opérations sur les ensembles : Soit A et B deux ensembles finis :  * ou +  * et +  * et +  ( )( ) ** et + ou * ++ ; ddifférence symétrique  ̅ * et + Propriétés : Soit E l’ensemble référentiel A, B et C des sous-ensembles de E   ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) On dit que l’union et l’intersection sont distributive l’une par rapport à l’autre. Lois de Morgan :  ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅  ̅ ̅ Remarque : Si alors A et B sont dits disjoints. II) Cardinal d’un ensemble fini : a) Définition : Soit E un ensemble fini. On appelle cardinal de E le nombre d’éléments de E. Il se note ( ) . Evaluation : Soit * + trouver Card (E) b) Propriété : Soient A et B deux sous-ensembles finis d’un ensemble fini E  ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ̅  ( ) ( ̅̅̅̅̅̅̅) ( ) Valuation : Dans une classe de TSE, il y a 35 élèves, 23élèves jouent au foot Ball, 12 jouent au basket Ball, 11élèves pratiquent les deux sports. Déterminer le nombre d’élèves qui jouent seulement au foot Ball et seulement au basket et ceux qui ne pratiquent aucun des deux sports.  Pour se rendre à un mariage, un homme doit choisir la chemise, le pantalon et la veste qu’il portera. Il possède 5 chemises, 3pantalons et 2vestes. Combien de choix distincts peut –il ainsi effectués ? c) L’ensemble des partis de E : ( ) Pour déterminer l’ensemble des parties d’un ensemble E noté ( ), on construit l’arbre des parties de E. Exemple : Soit E * +. Déterminer l’ensemble des parties de E. Théorème : Le nombre de p éléments d’un ensemble fini à n éléments est d) Produit Cartésien :  Définition : Soient A et B deux ensembles finis. On appelle produit cartésien de A et B l’ensemble noté AxB est l’ensemble des couples (x, y) où .  Evaluation : Soient les ensembles * + * +. Trouver AxB en faisant un tableau à double entré. III) P-Uplets - Arrangement – Permutation – Combinaison a) P-Uplets d’un ensemble : Prof A. Albert  Définition : Soit e un ensemble à n éléments et p un entier naturel non nul. On appelle P-Uplets de E tout élément de l’ensemble ⏟ ( ) ( ) b) Arrangement – Permutation : Soit E un ensemble à n éléments et .  On appelle arrangement de p éléments de E tout p-uplets d’élément de E deux à deux distincts. Le nombre d’arrangement de p éléments de E à n éléments est noté ( )( ) ( ) ( ) . Evaluation : Il y a combien de manière peut-on garer 5 motos dans un parking de 10places ?  On appelle permutation de E un arrangement à n éléments de E et est noté Remarque : Evaluation : déterminer le nombre d’anagrammes du mot Afrique. c) Combinaison d’un ensemble fini : Soit E un ensemble à n éléments et On appelle combinaison de p éléments de E tous sous-ensembles de E ayant p éléments. Le nombre de combinaison de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté ( ) . Evaluation : On désire de sélectionner 6joueurs parmi les 27 élèves de la TSE pour constituer une équipe de volez –Ball. Déterminer le nombre de sélections différentes que l’on peut former. IV) Tableau récapitulatif des différentes façons de tirer : Les façons de tirer p boules dans une urne qui contient n boules. Modélisation P éléments sont ordonnés P éléments sont distincts Outils Nombre de tirage Tirages successifs avec remise Oui Non P-uplet de E Tirages successifs sans remise Oui Oui Arrangement de p élément de E Tirages simultanés Non Oui Combinaison de p éléments de E Exercice d’application : Un sac contient 9jetons numérotés 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a) On tire 3jetons successivement en remettant à chaque fois le jeton tiré dans le sac avant de tirer le suivant. On écrit à côté chacun des 3chiffres tirés dans l’ordre du tirage formant ainsi un nombre de 3 chiffres. Combien peut-on obtenir de résultats différents ? b) On procède au tirage de 3 jetons successivement mais sans remise. On place les jetons côte à côte dans l’ordre du tirage. Combien de nombre peut-on former ainsi de nombre de 3chiffres ? c) On procède au tirage de 3jetons simultanément. Combien peut-on obtenir de résultats différents ? B) Probabilité : I-Calcul de probabilité : 1) Vocabulaire : Soit une épreuve (un jeu de dé ou de pièce de monnaie, tirage de boule ou de cartes)  L’ensemble des cas possibles est appelé l’univers et se note  Un sous-ensemble A de l’univers est appelé événement  Un élément de est appelé éventualité ou possibilité.  Un singleton de est appelé événement élémentaire  est appelé l’événement certain et est appelé l’événement impossible.  vénements équiprobables sont les événements ayant les mêmes chances de réalisation. 2) Espace probabilisé : a) Définition : soit l’univers associé à une épreuve. On appelle probabilité sur l’application P de P ( ) vers [0, 1] tel que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Le triplet Prof A. Albert ( ( ) ) est appelé espace probabilisé fini. ( ) le réel P(A) est appelé probabilité de A et on a : ( ) . 3) Propriétés :  ( ) ( ) , - ( ̅) ( ) ( ) ( ̅)  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  * + (* +) (* +) Exercice. : On tire au hasard une carte à un jeu de 32cartes comprenant 4 variétés : Pique, Carreau, Trèfle, Cœur. Chaque variété est composée de 8 cartes : l’as, le Roi, la Dame, le Valet, la 10, le 9, le 8 et le 7. Quelle est la probabilité de tirer on trèfle ? Au moins un As ? La dame de cœur ? Une carte rouge ? Au plus 2Rois ? II) Probabilités conditionnelles :  Définition : Soit B un événement de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle la probabilité de l’événement A sachant que B est réalisé. ( ) Ou ( ) définie par : ( ) ( ) ( ) . Evaluation : Une population animale comporte de mâles et de femelles. L’albinisme frappe 6% de mâles et 0, 36% de femelle. Quelle est la probabilité pour qu’un individu pris au hasard dont on ignore le sexe soit albinos ? III) Evénement indépendant : Soit A et B deux événements de probabilité non nulle. A et B sont indépendants s’ils vérifient l’une des conditions suivantes :  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) IV) Variables aléatoires réelles : 1) Activité : Une urne contient 3boules rouges et 4boules bleues. On tire deux boules simultanément et au hasard. On gagne 100F par boule rouge tirée. On désigne X la somme gagnée en francs. Déterminer les gains possibles et leurs probabilités respectives. 2) Synthèse :  On appelle variable aléatoire X réelle toute application de dans qui à chaque élément de fait correspondre un nombre réel. Notons X( ) l’ensemble des valeurs possibles de X. ( ) * +.  La loi de probabilité de X est la fonction qui à tout élément x de ( ) fait correspondre la probabilité que X prenne cette valeur x. Par abus de langage on dit que c’est la probabilité que « X soit égal à x » et que l’on note : P(X ). Il est commode de présenter cette loi de probabilité sous forme d’un tableau. … … … … P(X ). … … … … N.B : Lorsqu’on calcule une loi de probabilité d’une variable aléatoire, il est indispensable de vérifier que : ∑ V) Fonction de répartition d’une variable aléatoire : 1) Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers muni d’une probabilité P. On appelle fonction de répartition de X la fonction F de , - définie de la façon suivante. P(X )  - , ( )  - , ( )  - , ( )  - , ( )  - , ( ) Prof A. Albert Evaluation : En utilisant les résultats l’activité de IV)1), déterminer la fonction de répartition F et représenter graphiquement. 2) Propriété de la fonction de répartition : a) F est une fonction en escalier. b) F est une fonction croissante. 3) Caractéristiques d’une variable aléatoire : a) Espérance Mathématique :  Définition : Soit une variable aléatoire X prenant les valeurs avec les probabilités . On appelle uploads/Geographie/ denombrement-proba.pdf