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Lycée JANSON DE SAILLY 13 avril 2018 PROBABILITÉS 2nde 10 I VOCABULAIRE ET NOTA

Lycée JANSON DE SAILLY 13 avril 2018 PROBABILITÉS 2nde 10 I VOCABULAIRE ET NOTATIONS 1 EXPÉRIENCE ALÉATOIRE — Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard. — L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est l’univers associé à cette expérience aléatoire. On le note Ω. — Chacun des résultats de cette expérience aléatoire est une éventualité ou un évènement élémentaire. Remarques : 1. Le résultat d’une expérience aléatoire est déﬁni par l’expérimentateur. On lance un dé cubique : — Si on s’intéresse au chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera l’un des des chiffres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. L’univers associé à cette expérience est Ω= {1,2,3,4,5,6} — Par contre, si on s’intéresse à la parité du chiffre inscrit sur la face supérieure, un évènement élémentaire sera « pair » ou « impair ». L’univers associé à cette expérience est Ω= © pair,impair ª 2. L’univers Ωn’est pas toujours un ensemble ﬁni . On lance une pièce de monnaie jusqu’à obtenir « face » un résultat est un mot de longueur ﬁnie ou inﬁnie formé avec les deux lettres P pour « pile » et F pour « face ». Par exemple, le résultat PPPF signiﬁe qu’on a lancé quatre fois la pièce, les trois premiers lancers ont donné « pile » et le quatrième « face ». Ωest l’ensemble des mots de la forme P···P | {z } k fois F, k ∈N et du mot de longueur inﬁnie formé avec la lettre P . 2 ÉVÈNEMENT Un évènement associé à une expérience aléatoire est une partie de l’univers Ωconstituée de l’ensemble des évènements élémentaires de Ωpour lesquels on sait si une propriété est vériﬁée ou non à l’issue de l’expérience aléatoire. — L’évènement certain est noté Ω, il est toujours réalisé. — L’évènement impossible est noté ∅, il ne se réalise jamais. EXEMPLE Dans le cas d’un lancer de dé cubique, les phrases « le résultat est un multiple de 3 », « le résultat est 6 » et « le résultat est 7 » déﬁnissent trois évènements. 3 OPÉRATIONS SUR LES ÉVÈNEMENTS Soit Ωl’univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements — L’évènement « A ne s’est pas réalisé » est l’évènement contraire de A noté A. — L’évènement « au moins un des évènements A ou B s’est réalisé » est l’évènement « A ou B » noté A ∪B. — L’évènement « les évènements A et B se sont réalisés » est l’évènement « A et B » noté A ∩B. — Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. On a alors A ∩B = ∅. Les évènements A et A sont incompatibles. EXEMPLE On lance un dé cubique. On note A l’évènement « obtenir un nombre est pair », B l’évènement « le nombre obtenu est un nombre premier » A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 1 sur 6 Lycée JANSON DE SAILLY 13 avril 2018 PROBABILITÉS 2nde 10 — A = {2,4,6} et A = {1,3,5}. — B = {2,3,5} d’où A ∪B = {2,3,4,5,6} et A ∩B = {2}. II PROBABILITÉ 1 LOI DE PROBABILITÉ Ωdésigne un univers de n éventualités {e1,e2,...,en}. Déﬁnir une loi de probabilité p sur Ω, c’est associer, à chaque évènement élémentaire ei un nombre réel p (ei) = pi de l’intervalle [0;1], tel que : p1 + p2 +···+ pn = 1 2 PROBABILITÉ D’UN ÉVÈNEMENT Soit Ωun univers ﬁni sur lequel est déﬁnie une loi de probabilité. La probabilité d’un évènement A, est le réel noté p(A) tel que : — p(A) ∈[0;1] — p(A) est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent. 3 PROPRIÉTÉS Soit Ωun univers ﬁni sur lequel est déﬁnie une loi de probabilité. 1. La probabilité de l’évènement certain est égale à 1. p (Ω) = 1. 2. La probabilité de l’évènement impossible est nulle. p(∅) = 0. 3. Pour tout évènement A, p(A) = 1−p(A). 4. Si A et B sont deux évènements p (A ∪B) = p(A)+ p(B)−p (A ∩B) 4 ÉQUIPROBABILITÉ Soit Ωun univers ﬁni de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité c’est à dire, si p(e1) = p(e2) = ··· = p(en) = 1 n , alors l’univers est dit équiprobable. On a alors pour tout évènement A, p(A) = nombre des issues favorables à A nombre des issues possibles = card(A) card(Ω) Notation : Soit E un ensemble ﬁni, le cardinal de E noté card(E) est le nombre d’éléments de l’ensemble E. EXEMPLES 1. On lance deux dés équilibrés. Quel est l’évènement le plus probable A « la somme des nombres obtenus est égale à 7 » ou B « la somme des nombres obtenus est égale à 8 »? Si on s’intéresse à la somme des deux dés, l’univers est Ω= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} mais il n’y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n’a pas la même probabilité. 2 = 1+1 alors que 5 = 1+4 ou 5 = 2+3 A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 6 Lycée JANSON DE SAILLY 13 avril 2018 PROBABILITÉS 2nde 10 On se place dans une situation d’équiprobabilité en représentant une issue à l’aide d’un couple (a,b) où a est le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L’univers Ωassocié à cette expérience est l’ensemble des couples formés avec les éléments de {1,2,3,4,5,6}. Les dés étant équilibrés, il y a 62 = 36 résultats équiprobables. 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) L’évènement A est l’ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D’où : p(A) = 6 36 = 1 6 L’évènement B est l’ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D’où : p(B) = 5 36 L’évènement le plus probable est A. 2. La probabilité de l’évènement B « obtenir au moins un double six en lançant 12 fois deux dés » est-elle supérieure à la probabilité de l’évènement A « obtenir au moins une fois un six en lançant deux fois un dé »? a) Probabilité de l’évènement A Lorsqu’on lance deux fois un dé il y a 62 = 36 résultats équiprobables. L’évènement A « obtenir au moins un six » est l’évènement contraire de l’évènement « n’obtenir aucun six au cours des deux lancers ». Or l’évènement A est l’ensemble des couples formés avec les éléments de {1,2,3,4,5}. Le nombre d’éléments de A est 52 = 25 d’où p ³ A ´ = 52 62 et p(A) = 1−p ³ A ´ = 1−52 62 = 11 36 ≈0,306 b) Probabilité de l’évènement B Lorsqu’on lance une fois deux dés, il y a 36 couples de résultats équiprobables. La probabilité de l’évènement « ne pas obtenir de double six » vaut 35 36. Lorsqu’on lance 12 fois deux dés, la probabilité de l’évènement B « ne pas obtenir de double six » vaut µ35 36 ¶12 d’où p(B) = 1−p ³ B ´ = 1− µ35 36 ¶12 ≈0,287 Ainsi, la probabilité de l’évènement B « obtenir au moins un double six en lançant 12 fois deux dés » est inférieure à la probabilité de l’évènement A « obtenir au moins une fois un six en lançant deux fois un dé » A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 6 Lycée JANSON DE SAILLY 13 avril 2018 PROBABILITÉS 2nde 10 EXERCICE 1 Dans une entreprise, on a relevé qu’au cours d’une année : 40% des salariés ont été absents au moins 1 jour; 30% des salariés ont été absents au moins 2 jours; 15% des salariés ont été absents au moins 3 jours; 10% des salariés ont été absents au moins 4 jours; 5% des salariés ont été absents au moins 5 jours. On choisit au hasard un salarié de cette entreprise. Quelle est la probabilité pour que ce salarié : 1. n’ait jamais été absent au cours de cette année? 2. ait été absent une seule journée au cours de cette année? 3. ait été absent au plus 3 jours? EXERCICE 2 On tire, au hasard, une carte d’un jeu de 32 cartes. 1. Calculer les probabilités des événements suivants : a) R : « la carte est un roi »; b) F : « la carte est une ﬁgure »; c) C : « la carte est un cœur ». 2. Décrire l’événement F ∩C puis calculer sa probabilité p(F ∩C). En déduire la probabilité p(F ∪C) d’obtenir une ﬁgure ou un cœur. EXERCICE 3 On choisi au hasard un nombre entre 1 et 36. 1. Calculer la probabilité des événements suivants : — A : « le nombre est un multiple de 3 » — B : « le nombre est uploads/Geographie/ 2017-2018-seconde-probabilites.pdf