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www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 1 Devoir Surveillé n° 2 1ére Bac SM Biof 1ér Semestre Durée 3h Exercice 1 (2pt) Soit   I N n n S   une suite définie par : 2 3 1 4 7 3 2 5 5 5 5 n n n S       1) Montrer que :   IN n   ; 1 1 3 1 1 5 5 20 5 n n n S S            2) Montrer par récurrence la suite   I N n n S   est majorée par 1 2 3) Déduire que la suite   I N n n S   est convergente ; puis déterminer sa limite Exercice 2 (4pts) I- Soient   2 n n a  et   2 n n b deux suites définies par : 2 3 cos cos cos 2 2 2 n n a        et cos 2 n n n b a    1) Montrer que la suite   2 n n a  est bornée et monotone. 2) Montrer que :   2 cos cos 2 0 x x   ;   IR x  . 3) Montrer que la suite   2 n n b  est croissante. 4) Montrer que les sites   2 n n a  et  2 n n b  sont adjacentes. Que peut-on déduire. II- Pour tout entier naturel n on pose : sin 2 n n n c a    1) Montrer que la suite   2 n n c est une suite géométrique ; puis déterminer sa raison et son premier terme. 2) Déduire la limite commune L à   2 n n a et   2 n n b  3) Montrer que :  IR x  ; 3 1 cos 3 x x   4) Déduire que pour tout entier naturel 2 n  ; on a : 2 2 1 0 2 n n a L      Exercice 3 (5 pts) I- Soit la fonction f définie sur   0;1 par :  1 x f x x x    et   f C sa courbe représentative dans un repère orthonormé   ; ; O i j (unité de mesure est 4cm). 1) Montrer que le point 1 1 ; 2 2        est un centre de symétrie pour  f C . 2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 ; puis interpréter géométriquement le résultat 3) Montrer que f est strictement croissante sur l'intervalle   0;1 ; puis dresser son tableau de variation. 4) Etudier le signe de    f x x  sur   0;1 ; puis construire   f C dans le repère   ; ; O i j . II- On considère la suite   I N n n u définie par :       0 1 0;1 ; IN n n u u f u n          guessmathsguessmaths www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 2 1) Vérifier que la suite   I N n n u est bien définie 2) Montrer que la suite   I N n n u est constante si et seulement si 0 1 0; ;1 2 u       . 3) On considère que : 0 1 0; 2 u       ; étudier le monotonie de la suite   I N n n u  ; puis déduire qu'elle est convergente et déterminer sa limite - 4) On considère que : 0 1 ;1 2 u       Montrer que la suite   I N n n u est convergente et déterminer sa limite. Exercice 4 (3pts) I- On considère la fonction : 4 3 4 5 1 : 1 x x f x x    1) Calculer  lim x f x  et  lim x f x  . 2) Soit g la fonction définie sur ; 2 2         par :    tan ; ; 2 2 1 2 2 g x f x si x g g                                  a) Montrer que g vérifie les conditions du théorème de Rolle sur ; 2 2         . b) Vérifier que :  ; / 0 2 2 c g c                 . c) Déduire que :    I R / 0 f       . II- Soit h une fonction continue et dérivable sur IR ; telle que :   lim lim IR x x h x h x l     Montrer que l'équation  0 h x   admet au moins une solution dans IR Exercice 5 (6 pts) I- Soit f une fonction définie sur IR par :    Arctan = f x x x  et   f C sa courbe représentative dans un repère orthonormé   ; ; O i j 1) Calculer  lim x f x  2) Etudier la dérivabilité de f å droite en 0 ; puis interpréter géométriquement le résultat. 3) Montre que f est dérivable sur IR  et que :   IR x    ;    1 1+ 2 = 1 f x x x   4) Déduire la monotonie de f puis dresser son tableau de variation. 5) Montrer que la fonction dérivée f  est strictement décroissante sur IR . 6) Etudier la branche infinie de   f C ; puis construire   f C dans le repère   ; ; O i j 7) Montrer que f admet une fonction réciproque 1 f  définie sur un intervalle J à déterminer. 8) Construire   1 f C  la courbe de 1 f  dans le même repère   ; ; O i j II- On considère la suite   I N n n u définie par :     0 1 1 ; IR ; I N n n u a où a u f u n          www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 3 1) Montrer que :   IN n  ; 0 n u  2) Montrer que le suite   I N n n u est strictement décroissante. 3) En utilisant de théorème des accroissements finis; montrer que :       1 0;1 / IN ; n n k n u ku     4) Déduire que la suite   I N n n u  est convergente ; puis déterminer sa limite. uploads/Geographie/ devoir-7 4 .pdf